Номер 165, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

165 a) Найдите наибольшее значение функции $y = 3 + \frac{12}{\sqrt{x^2 + 36}}$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = \frac{14}{\sqrt{x^2 + 49}}$.

а)

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 3 + \frac{12}{\sqrt{x^2 + 36}}$, необходимо найти наибольшее значение слагаемого $\frac{12}{\sqrt{x^2 + 36}}$, так как 3 является константой.
Дробь с постоянным положительным числителем принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение. Следовательно, нам нужно найти наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 + 36}$.
Значение квадратного корня минимально, когда минимально подкоренное выражение. Рассмотрим выражение $x^2 + 36$.
Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при $x = 0$.
Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 36$ равно $0 + 36 = 36$.
Тогда наименьшее значение знаменателя $\sqrt{x^2 + 36}$ равно $\sqrt{36} = 6$.
Подставим это значение в дробь, чтобы найти ее наибольшее значение: $\frac{12}{6} = 2$.
Теперь мы можем найти наибольшее значение исходной функции: $y_{max} = 3 + 2 = 5$.
Ответ: 5.

б)

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = \frac{14}{\sqrt{x^2 + 49}}$, необходимо найти наименьшее значение знаменателя $\sqrt{x^2 + 49}$, так как числитель 14 — это константа.
Знаменатель $\sqrt{x^2 + 49}$ принимает наименьшее значение, когда подкоренное выражение $x^2 + 49$ минимально.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x = 0$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $x^2 + 49$ равно $0 + 49 = 49$.
Тогда наименьшее значение знаменателя равно $\sqrt{49} = 7$.
Таким образом, наибольшее значение функции $y$ равно $\frac{14}{7} = 2$.
Ответ: 2.