Номер 159, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

159 a) Найдите наименьшее значение функции $y = 5 + 3\sqrt{x}$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 49}$.

а) Найдите наименьшее значение функции $y = 5 + 3\sqrt{x}$.

Для нахождения наименьшего значения данной функции проанализируем ее структуру. Функция состоит из константы 5 и слагаемого $3\sqrt{x}$.

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения, то есть $x \ge 0$.

Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что чем меньше значение аргумента $x$, тем меньше значение функции $\sqrt{x}$.

Следовательно, чтобы найти наименьшее значение функции $y$, нам нужно взять наименьшее возможное значение $x$. Из области определения $x \ge 0$ наименьшим значением является $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:

$y_{min} = 5 + 3\sqrt{0} = 5 + 3 \cdot 0 = 5$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно 5.

Ответ: 5

б) Найдите наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 49}$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 49}$, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 49$. Это связано с тем, что функция квадратного корня $f(t) = \sqrt{t}$ является монотонно возрастающей, и ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении ее аргумента $t$.

Рассмотрим подкоренное выражение $z(x) = x^2 + 49$.

Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа, который всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.

Наименьшее значение $x^2$ равно 0 и достигается при $x = 0$.

Следовательно, наименьшее значение всего подкоренного выражения $x^2 + 49$ будет:

$z_{min} = 0 + 49 = 49$.

Теперь, когда мы нашли наименьшее значение подкоренного выражения, мы можем найти наименьшее значение исходной функции $y$:

$y_{min} = \sqrt{z_{min}} = \sqrt{49} = 7$.

Наименьшее значение функции достигается при $x = 0$ и равно 7.

Ответ: 7