Номер 156, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

156 a) Найдите наименьшее значение функции $y = x^2 - 6x + 5$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = x^2 + 4x - 1$.

а)

Данная функция $y = x^2 - 6x + 5$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля. Наименьшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Для нахождения наименьшего значения представим функцию в виде $y = a(x - m)^2 + n$, где $(m, n)$ — координаты вершины. Для этого выделим полный квадрат.

$y = x^2 - 6x + 5 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3) + 5$

Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем $3^2=9$:

$y = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5$

Теперь выражение в скобках является полным квадратом $(x-3)^2$:

$y = (x - 3)^2 - 4$

Поскольку выражение $(x - 3)^2$ всегда больше или равно нулю (его наименьшее значение равно 0 при $x=3$), наименьшее значение всей функции будет достигаться, когда $(x - 3)^2 = 0$.

$y_{наим} = 0 - 4 = -4$

Ответ: -4.

б)

Функция $y = x^2 + 4x - 1$ также является квадратичной с ветвями параболы, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1). Ее наименьшее значение находится в вершине параболы.

Снова выделим полный квадрат, чтобы найти координаты вершины.

$y = x^2 + 4x - 1 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2) - 1$

Добавим и вычтем $2^2=4$:

$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 1$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(x+2)^2$:

$y = (x + 2)^2 - 5$

Выражение $(x + 2)^2$ всегда неотрицательно, и его минимальное значение равно 0 (при $x=-2$).

Таким образом, наименьшее значение функции равно:

$y_{наим} = 0 - 5 = -5$

Ответ: -5.