Номер 157, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

157. а) Найдите наибольшее значение функции $y = -10x^2 + 30x - 23$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = -5x^2 - 16x + 11$.

а) Данная функция $y = -10x^2 + 30x - 23$ является квадратичной. Её график — парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене $a = -10$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

В нашем случае коэффициенты равны: $a = -10$, $b = 30$, $c = -23$.

Найдем абсциссу (координату $x$) вершины:

$x_0 = -\frac{30}{2 \cdot (-10)} = -\frac{30}{-20} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь подставим найденное значение $x_0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины, которая и будет наибольшим значением функции:

$y_{наиб} = y(1.5) = -10 \cdot (1.5)^2 + 30 \cdot 1.5 - 23 = -10 \cdot 2.25 + 45 - 23 = -22.5 + 45 - 23 = 22.5 - 23 = -0.5$

Ответ: -0.5

б) Функция $y = -5x^2 - 16x + 11$ также является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -5$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функции находится в ее вершине.

Коэффициенты функции: $a = -5$, $b = -16$, $c = 11$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-16}{2 \cdot (-5)} = \frac{16}{-10} = -1.6$

Подставим значение $x_0 = -1.6$ в уравнение функции, чтобы найти наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(-1.6) = -5 \cdot (-1.6)^2 - 16 \cdot (-1.6) + 11 = -5 \cdot 2.56 + 25.6 + 11 = -12.8 + 25.6 + 11 = 12.8 + 11 = 23.8$

Ответ: 23.8