Номер 160, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

160 a) Найдите наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 10}$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = \sqrt{2x^2 + 4x + 6}$.

а) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 10}$, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $g(x) = x^2 - 6x + 10$, поскольку функция $f(z) = \sqrt{z}$ является монотонно возрастающей.
Подкоренное выражение $g(x) = x^2 - 6x + 10$ является квадратичной функцией. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.
Абсцисса вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $a=1$, $b=-6$: $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Теперь найдём наименьшее значение подкоренного выражения, подставив $x=3$ в $g(x)$: $g_{min} = g(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1$.
Наименьшее значение исходной функции $y$ равно корню из наименьшего значения подкоренного выражения: $y_{min} = \sqrt{1} = 1$.
Альтернативный способ: выделим полный квадрат в подкоренном выражении: $x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$. Так как $(x - 3)^2 \ge 0$, наименьшее значение выражения $(x-3)^2+1$ равно $1$ (достигается при $x=3$). Тогда наименьшее значение функции $y$ равно $\sqrt{1} = 1$.
Ответ: 1.

б) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{2x^2 + 4x + 6}$, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $h(x) = 2x^2 + 4x + 6$.
Подкоренное выражение $h(x) = 2x^2 + 4x + 6$ является квадратичной функцией. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше 0). Наименьшее значение достигается в вершине.
Абсцисса вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $a=2$, $b=4$: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
Теперь найдём наименьшее значение подкоренного выражения, подставив $x=-1$ в $h(x)$: $h_{min} = h(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 6 = 2 - 4 + 6 = 4$.
Наименьшее значение исходной функции $y$ равно корню из наименьшего значения подкоренного выражения: $y_{min} = \sqrt{4} = 2$.
Альтернативный способ: выделим полный квадрат в подкоренном выражении: $2x^2 + 4x + 6 = 2(x^2 + 2x) + 6 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 6 = 2(x+1)^2 - 2 + 6 = 2(x+1)^2 + 4$. Так как $2(x+1)^2 \ge 0$, наименьшее значение выражения $2(x+1)^2+4$ равно $4$ (достигается при $x=-1$). Тогда наименьшее значение функции $y$ равно $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.