Номер 161, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

161 а) Найдите наибольшее значение функции $y = \sqrt{-x^2 + 6x - 5}.$

б) Найдите наибольшее значение функции $y = \sqrt{-x^2 - 4x + 5}.$

а)

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = \sqrt{-x^2 + 6x - 5}$, необходимо найти наибольшее значение подкоренного выражения $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, поскольку функция квадратного корня $y = \sqrt{u}$ является монотонно возрастающей для всех $u \ge 0$.

Подкоренное выражение $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ является квадратичной функцией. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный, $a = -1$). Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы, выделив полный квадрат:

$-x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2) - 5 = -((x-3)^2 - 9) - 5 = -(x-3)^2 + 9 - 5 = 4 - (x-3)^2$.

Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Наибольшее значение выражения $4 - (x-3)^2$ достигается тогда, когда вычитаемое $(x-3)^2$ принимает свое наименьшее значение, то есть 0. Это происходит при $x=3$.

Таким образом, максимальное значение подкоренного выражения равно $4 - 0 = 4$.

Наибольшее значение исходной функции $y$ будет равно квадратному корню из этого максимального значения:

$y_{наиб} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

б)

Аналогично предыдущему пункту, для нахождения наибольшего значения функции $y = \sqrt{-x^2 - 4x + 5}$ найдем наибольшее значение подкоренного выражения $g(x) = -x^2 - 4x + 5$.

Это также квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому ее наибольшее значение находится в вершине.

Выделим полный квадрат для выражения $g(x)$:

$-x^2 - 4x + 5 = -(x^2 + 4x) + 5 = -(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2) + 5 = -((x+2)^2 - 4) + 5 = -(x+2)^2 + 4 + 5 = 9 - (x+2)^2$.

Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+2)^2 \ge 0$. Наибольшее значение выражения $9 - (x+2)^2$ достигается, когда $(x+2)^2$ принимает наименьшее значение, равное 0. Это происходит при $x=-2$.

Максимальное значение подкоренного выражения равно $9 - 0 = 9$.

Следовательно, наибольшее значение исходной функции $y$ равно:

$y_{наиб} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: 3