Номер 158, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

158. a) Найдите наибольшее значение функции $y = \sqrt{16 - x^2}$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = 1 - \sqrt{x}$.

а) Для нахождения наибольшего значения функции $y = \sqrt{16 - x^2}$ необходимо проанализировать ее структуру. Функция $f(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей, это означает, что чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение самой функции. Следовательно, нам нужно найти наибольшее значение выражения $16 - x^2$.

Выражение $x^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.

Чтобы разность $16 - x^2$ была максимальной, вычитаемое $x^2$ должно быть минимальным. Наименьшее значение $x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.

Таким образом, наибольшее значение подкоренного выражения равно:

$16 - 0 = 16$

Теперь мы можем найти наибольшее значение функции $y$:

$y_{наиб} = \sqrt{16} = 4$

Это значение достигается при $x=0$. Стоит убедиться, что $x=0$ входит в область определения функции. Область определения задается условием $16 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 16$, или $-4 \le x \le 4$. Так как $x=0$ принадлежит этому отрезку, найденное значение является верным.

Ответ: 4

б) Рассмотрим функцию $y = 1 - \sqrt{x}$. Чтобы найти ее наибольшее значение, нужно проанализировать, как значение $\sqrt{x}$ влияет на итоговый результат. Поскольку мы вычитаем $\sqrt{x}$ из константы 1, значение $y$ будет наибольшим, когда вычитаемое $\sqrt{x}$ будет наименьшим.

Сначала определим область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено для всех неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$.

Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, ее наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении аргумента $x$. В области определения $[0, +\infty)$ наименьшее значение $x$ равно 0.

Найдем наименьшее значение $\sqrt{x}$:

$\sqrt{0} = 0$

Теперь подставим это наименьшее значение в исходную функцию, чтобы найти ее наибольшее значение:

$y_{наиб} = 1 - 0 = 1$

Ответ: 1