Номер 162, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

162 a) Найдите наибольшее значение функции $y = 11 - \sqrt{x^2 - 4x + 3}$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = 17 + \sqrt{x^2 + 5x + 6}$.

a) Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 11 - \sqrt{x^2 - 4x + 3}$, необходимо найти наименьшее возможное значение вычитаемого выражения $\sqrt{x^2 - 4x + 3}$.
Выражение, стоящее под знаком корня, должно быть неотрицательным. Это определяет область определения функции: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.
Наименьшее значение выражения $x^2 - 4x + 3$ на этой области определения достигается в точках $x=1$ и $x=3$ и равно 0.
Следовательно, наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 - 4x + 3}$ равно $\sqrt{0} = 0$.
Тогда наибольшее значение функции $y$ равно: $y_{наиб} = 11 - 0 = 11$.
Ответ: 11

б) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = 17 + \sqrt{x^2 + 5x + 6}$, необходимо найти наименьшее возможное значение слагаемого $\sqrt{x^2 + 5x + 6}$.
Выражение под корнем должно быть неотрицательным, что задает область определения функции: $x^2 + 5x + 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство справедливо при $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$.
Наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 5x + 6$ на его области определения равно 0. Это значение достигается при $x=-2$ и $x=-3$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 + 5x + 6}$ равно $\sqrt{0} = 0$.
Тогда наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = 17 + 0 = 17$.
Ответ: 17