Номер 169, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

169. a) Постройте график функции $y = \frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x - 2}$ и найдите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком данной функции одну общую точку.

б) Постройте график функции $y = \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x + 1}$ и найдите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком данной функции одну общую точку.

а) Постройте график функции $y = \frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x - 2}$ и найдите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком данной функции одну общую точку.

1. Упрощение функции.
Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
Разложим числитель на множители методом группировки:
$x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x + 1) - 4(x + 1) = (x^2 - 4)(x + 1) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)$.
Теперь мы можем упростить выражение для функции при $x \neq 2$:
$y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x + 1)}{x - 2} = (x + 2)(x + 1) = x^2 + 3x + 2$.
Таким образом, график исходной функции — это парабола $y = x^2 + 3x + 2$ с "выколотой" точкой при $x = 2$.

2. Построение графика.
Графиком функции $y = x^2 + 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.
$y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$.
Вершина находится в точке $(-1.5, -0.25)$.
Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим $x = 2$ в упрощенную функцию:
$y(2) = 2^2 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$.
Координаты "выколотой" точки — $(2, 12)$.
График представляет собой параболу с вершиной в $(-1.5, -0.25)$ и выколотой точкой $(2, 12)$.

3. Нахождение значений $p$.
Прямая $y = p$ — это горизонтальная прямая. Она имеет с графиком ровно одну общую точку в двух случаях:
- Когда прямая касается вершины параболы. Это происходит при $p = y_v = -0.25$.
- Когда прямая проходит через "выколотую" точку. Это происходит при $p = 12$. В этом случае прямая $y = 12$ пересекает параболу в двух точках. Найдем их абсциссы: $x^2 + 3x + 2 = 12 \Rightarrow x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$. Так как точка с абсциссой $x = 2$ выколота, прямая $y = 12$ пересекает график только в одной точке, где $x = -5$.
Следовательно, прямая $y = p$ имеет с графиком одну общую точку при $p = -0.25$ и $p = 12$.

Ответ: $p = -0.25; p = 12.$

б) Постройте график функции $y = \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x + 1}$ и найдите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком данной функции одну общую точку.

1. Упрощение функции.
Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.
Разложим числитель на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки:
$x^3 + 3x^2 + 2x = x(x^2 + 3x + 2)$.
Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2$. Его корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$, поэтому $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.
Числитель равен $x(x + 1)(x + 2)$.
Упростим выражение для функции при $x \neq -1$:
$y = \frac{x(x + 1)(x + 2)}{x + 1} = x(x + 2) = x^2 + 2x$.
Таким образом, график исходной функции — это парабола $y = x^2 + 2x$ с "выколотой" точкой при $x = -1$.

2. Построение графика.
Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина находится в точке $(-1, -1)$.
Найдем координаты "выколотой" точки. Абсцисса выколотой точки $x = -1$, что совпадает с абсциссой вершины. Ордината точки: $y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = -1$.
Координаты "выколотой" точки — $(-1, -1)$.
Таким образом, график функции — это парабола $y = x^2 + 2x$, у которой выколота вершина.

3. Нахождение значений $p$.
Прямая $y = p$ — это горизонтальная прямая. Проанализируем количество точек пересечения с графиком в зависимости от $p$:
- Если $p > -1$, прямая пересекает обе ветви параболы, т.е. имеет две общие точки.
- Если $p = -1$, прямая проходит через выколотую вершину параболы, т.е. не имеет общих точек с графиком.
- Если $p < -1$, прямая расположена ниже выколотой вершины и не имеет общих точек с графиком.
Таким образом, не существует такого значения $p$, при котором прямая $y=p$ имела бы с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Ответ: таких значений $p$ нет.