Номер 176, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

176 Постройте график функции $y = -x^2 - 5$. При каких значениях $k$ график данной функции будет иметь с прямой $y = kx$ одну общую точку?

Постройте график функции $y = -x^2 - 5$.

Графиком функции $y = -x^2 - 5$ является парабола. Для её построения определим ключевые параметры.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$. Так как он отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для параболы $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам $x_0 = -b/(2a)$ и $y_0 = y(x_0)$. В нашем случае $a=-1$, $b=0$, $c=-5$.
$x_0 = -0 / (2 \cdot (-1)) = 0$.
$y_0 = -(0)^2 - 5 = -5$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -5)$.

3. Ось симметрии. Осью симметрии является прямая $x = x_0$, то есть $x=0$ (ось Oy).

4. Контрольные точки. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси симметрии:
- если $x = 1$, то $y = -(1)^2 - 5 = -1 - 5 = -6$. Точка $(1, -6)$.
- если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 - 5 = -1 - 5 = -6$. Точка $(-1, -6)$.
- если $x = 2$, то $y = -(2)^2 - 5 = -4 - 5 = -9$. Точка $(2, -9)$.
- если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 - 5 = -4 - 5 = -9$. Точка $(-2, -9)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0, -5)$ и найденные точки, а затем соединить их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, -5)$ и ветвями, направленными вниз.

При каких значениях k график данной функции будет иметь с прямой $y = kx$ одну общую точку?

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = -x^2 - 5$ и $y = kx$, необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} y = -x^2 - 5 \\ y = kx \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:
$-x^2 - 5 = kx$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + kx + 5 = 0$

Графики будут иметь одну общую точку в том случае, если это квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант уравнения равен нулю ($D=0$).

Найдем дискриминант. Для нашего уравнения $a=1$, $b=k$, $c=5$.
$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = k^2 - 20$.

Приравняем дискриминант к нулю и найдем значения $k$:
$k^2 - 20 = 0$
$k^2 = 20$
$k = \pm\sqrt{20}$

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Таким образом, получаем два значения для $k$.

Ответ: $k = 2\sqrt{5}$ и $k = -2\sqrt{5}$.