Номер 170, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

170 а) Постройте график функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 2x}{x - 1}$ и найдите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень.

б) Постройте график функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x + 3}$ и найдите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень.

а)

Рассмотрим функцию $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 2x}{x - 1}$.

1. Упрощение выражения для функции.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Теперь упростим выражение для $f(x)$. Разложим числитель на множители:

$x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2)$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Тогда $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

Подставляем разложение в исходную функцию:

$f(x) = \frac{x(x - 1)(x + 2)}{x - 1}$.

Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$f(x) = x(x + 2) = x^2 + 2x$.

2. Построение графика.

График функции $y = f(x)$ представляет собой параболу $y = x^2 + 2x$ с выколотой точкой при $x = 1$.

Найдем характеристики параболы $y = x^2 + 2x$:

- Это парабола, ветви которой направлены вверх.

- Координаты вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

- $y_в = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Вершина находится в точке $(-1, -1)$.

Найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим $x=1$ в уравнение параболы:

$y(1) = 1^2 + 2(1) = 3$.

Таким образом, график функции — это парабола $y = x^2 + 2x$ с выколотой точкой $(1, 3)$.

3. Нахождение значений p.

Уравнение $f(x) = p$ соответствует нахождению точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = p$. Нам нужно найти такие значения $p$, при которых существует ровно одна точка пересечения.

Анализируя график, мы видим, что есть два таких случая:

1. Прямая $y = p$ касается параболы в ее вершине. Это происходит, когда $p$ равно ординате вершины, то есть $p = -1$. В этом случае уравнение имеет один корень $x = -1$.

2. Прямая $y = p$ проходит через выколотую точку. Ордината выколотой точки равна 3, значит, $p=3$. Прямая $y=3$ пересекла бы полную параболу в двух точках, но одна из них ($x=1$) выколота. Вторая точка пересечения находится из уравнения $x^2+2x = 3 \implies x^2+2x-3=0$, корни которого $x=1$ и $x=-3$. Поскольку точка при $x=1$ выколота, остается единственный корень $x=-3$.

Следовательно, уравнение $f(x) = p$ имеет один корень при $p = -1$ и $p = 3$.

Ответ: $p = -1; 3$.

б)

Рассмотрим функцию $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x + 3}$.

1. Упрощение выражения для функции.

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, то есть $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Упростим выражение для $f(x)$, разложив числитель на множители методом группировки:

$x^3 + 3x^2 - x - 3 = x^2(x + 3) - (x + 3) = (x^2 - 1)(x + 3)$.

Используем формулу разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)(x + 3)}{x + 3}$.

При $x \neq -3$ сокращаем дробь на $(x+3)$:

$f(x) = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

2. Построение графика.

График функции $y = f(x)$ — это парабола $y = x^2 - 1$ с выколотой точкой при $x = -3$.

Характеристики параболы $y = x^2 - 1$:

- Это парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вниз. Ветви направлены вверх.

- Вершина находится в точке $(0, -1)$.

Найдем координаты выколотой точки, подставив $x = -3$ в уравнение параболы:

$y(-3) = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.

Таким образом, график функции — это парабола $y = x^2 - 1$ с выколотой точкой $(-3, 8)$.

3. Нахождение значений p.

Уравнение $f(x) = p$ будет иметь один корень, если прямая $y = p$ пересечет график $y = f(x)$ ровно в одной точке.

Это возможно в двух случаях:

1. Прямая $y = p$ касается параболы в ее вершине. Это происходит при $p = -1$. Единственный корень — $x=0$.

2. Прямая $y = p$ проходит через выколотую точку. Это происходит при $p = 8$. Прямая $y=8$ пересекает параболу $y=x^2-1$ в точках, где $x^2-1=8 \implies x^2=9$, то есть при $x=3$ и $x=-3$. Так как точка при $x=-3$ выколота, остается один корень $x=3$.

Таким образом, уравнение $f(x) = p$ имеет один корень при $p = -1$ и $p = 8$.

Ответ: $p = -1; 8$.