Номер 171, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

171 Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & x < -1; \\ -2x, & x \ge -1. \end{cases}$

При каких значениях $p$ график данной функции имеет с прямой $y = p$ две общие точки?

Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & x < -1 \\ -2x, & x \ge -1 \end{cases}$

График данной кусочной функции состоит из двух частей: части параболы и луча.

1. Рассмотрим функцию $y = x^2 + 4x + 5$ на промежутке $x < -1$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Найдем координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Ордината вершины: $y_в = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Координаты вершины — $(-2, 1)$. Условие $x_в = -2 < -1$ выполняется, следовательно, вершина параболы является частью графика функции.

Найдем значение функции на границе области определения, в точке $x = -1$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка на графике будет выколотой (пустой кружок).

$y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$.

Таким образом, на графике будет выколотая точка с координатами $(-1, 2)$.

Для большей точности построения найдем еще одну точку, например, при $x = -3$:

$y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$. Точка $(-3, 2)$ принадлежит графику.

2. Рассмотрим функцию $y = -2x$ на промежутке $x \ge -1$.

Это линейная функция, ее график — луч.

Найдем координаты начальной точки луча при $x = -1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$), точка будет закрашенной.

$y(-1) = -2(-1) = 2$.

Начало луча находится в точке $(-1, 2)$.

Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x = 0$:

$y(0) = -2(0) = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

Заметим, что в точке $x=-1$ левый предел функции ($y \to 2$) равен значению функции в этой точке ($y=2$), поэтому график является непрерывным. Он состоит из ветви параболы с вершиной в $(-2, 1)$, которая доходит до точки $(-1, 2)$, и луча, выходящего из этой же точки $(-1, 2)$ и проходящего через начало координат.

При каких значениях p график данной функции имеет с прямой y = p две общие точки?

Прямая $y = p$ — это горизонтальная прямая. Чтобы найти, при каких значениях $p$ она имеет с графиком функции ровно две общие точки, проанализируем график.

Количество точек пересечения меняется при прохождении прямой $y=p$ через "особые" точки графика: вершину параболы $(-2, 1)$ и точку стыка $(-1, 2)$.

• При $p < 1$, прямая $y=p$ пересекает только луч $y=-2x$ в одной точке. С параболой пересечений нет, так как ее наименьшее значение равно 1. Итог: 1 общая точка.
• При $p = 1$, прямая $y=p$ касается параболы в ее вершине $(-2, 1)$ (одна точка) и пересекает луч $y=-2x$ в одной точке (при $1=-2x$, $x=-0.5$, что удовлетворяет условию $x \ge -1$). Итог: 2 общие точки.
• При $1 < p < 2$, прямая $y=p$ пересекает параболу в двух точках (по обе стороны от оси симметрии $x=-2$) и луч $y=-2x$ в одной точке. Итог: 3 общие точки.
• При $p = 2$, прямая $y=p$ проходит через точку стыка $(-1, 2)$ и пересекает параболу еще в одной точке $(-3, 2)$. Итог: 2 общие точки.
• При $p > 2$, прямая $y=p$ пересекает только левую ветвь параболы в одной точке. С лучом $y=-2x$ пересечений нет, так как его значения не превышают 2. Итог: 1 общая точка.

Таким образом, график функции имеет с прямой $y=p$ ровно две общие точки при $p=1$ и $p=2$.

Ответ: $p=1; p=2$.