Страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

170 а) Постройте график функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 2x}{x - 1}$ и найдите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень.

б) Постройте график функции $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x + 3}$ и найдите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень.

а)

Рассмотрим функцию $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 2x}{x - 1}$.

1. Упрощение выражения для функции.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Теперь упростим выражение для $f(x)$. Разложим числитель на множители:

$x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2)$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Тогда $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

Подставляем разложение в исходную функцию:

$f(x) = \frac{x(x - 1)(x + 2)}{x - 1}$.

Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$f(x) = x(x + 2) = x^2 + 2x$.

2. Построение графика.

График функции $y = f(x)$ представляет собой параболу $y = x^2 + 2x$ с выколотой точкой при $x = 1$.

Найдем характеристики параболы $y = x^2 + 2x$:

- Это парабола, ветви которой направлены вверх.

- Координаты вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

- $y_в = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Вершина находится в точке $(-1, -1)$.

Найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим $x=1$ в уравнение параболы:

$y(1) = 1^2 + 2(1) = 3$.

Таким образом, график функции — это парабола $y = x^2 + 2x$ с выколотой точкой $(1, 3)$.

3. Нахождение значений p.

Уравнение $f(x) = p$ соответствует нахождению точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = p$. Нам нужно найти такие значения $p$, при которых существует ровно одна точка пересечения.

Анализируя график, мы видим, что есть два таких случая:

1. Прямая $y = p$ касается параболы в ее вершине. Это происходит, когда $p$ равно ординате вершины, то есть $p = -1$. В этом случае уравнение имеет один корень $x = -1$.

2. Прямая $y = p$ проходит через выколотую точку. Ордината выколотой точки равна 3, значит, $p=3$. Прямая $y=3$ пересекла бы полную параболу в двух точках, но одна из них ($x=1$) выколота. Вторая точка пересечения находится из уравнения $x^2+2x = 3 \implies x^2+2x-3=0$, корни которого $x=1$ и $x=-3$. Поскольку точка при $x=1$ выколота, остается единственный корень $x=-3$.

Следовательно, уравнение $f(x) = p$ имеет один корень при $p = -1$ и $p = 3$.

Ответ: $p = -1; 3$.

б)

Рассмотрим функцию $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x + 3}$.

1. Упрощение выражения для функции.

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, то есть $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Упростим выражение для $f(x)$, разложив числитель на множители методом группировки:

$x^3 + 3x^2 - x - 3 = x^2(x + 3) - (x + 3) = (x^2 - 1)(x + 3)$.

Используем формулу разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)(x + 3)}{x + 3}$.

При $x \neq -3$ сокращаем дробь на $(x+3)$:

$f(x) = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

2. Построение графика.

График функции $y = f(x)$ — это парабола $y = x^2 - 1$ с выколотой точкой при $x = -3$.

Характеристики параболы $y = x^2 - 1$:

- Это парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вниз. Ветви направлены вверх.

- Вершина находится в точке $(0, -1)$.

Найдем координаты выколотой точки, подставив $x = -3$ в уравнение параболы:

$y(-3) = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.

Таким образом, график функции — это парабола $y = x^2 - 1$ с выколотой точкой $(-3, 8)$.

3. Нахождение значений p.

Уравнение $f(x) = p$ будет иметь один корень, если прямая $y = p$ пересечет график $y = f(x)$ ровно в одной точке.

Это возможно в двух случаях:

1. Прямая $y = p$ касается параболы в ее вершине. Это происходит при $p = -1$. Единственный корень — $x=0$.

2. Прямая $y = p$ проходит через выколотую точку. Это происходит при $p = 8$. Прямая $y=8$ пересекает параболу $y=x^2-1$ в точках, где $x^2-1=8 \implies x^2=9$, то есть при $x=3$ и $x=-3$. Так как точка при $x=-3$ выколота, остается один корень $x=3$.

Таким образом, уравнение $f(x) = p$ имеет один корень при $p = -1$ и $p = 8$.

Ответ: $p = -1; 8$.

171 Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & x < -1; \\ -2x, & x \ge -1. \end{cases}$

При каких значениях $p$ график данной функции имеет с прямой $y = p$ две общие точки?

Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & x < -1 \\ -2x, & x \ge -1 \end{cases}$

График данной кусочной функции состоит из двух частей: части параболы и луча.

1. Рассмотрим функцию $y = x^2 + 4x + 5$ на промежутке $x < -1$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Найдем координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Ордината вершины: $y_в = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Координаты вершины — $(-2, 1)$. Условие $x_в = -2 < -1$ выполняется, следовательно, вершина параболы является частью графика функции.

Найдем значение функции на границе области определения, в точке $x = -1$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка на графике будет выколотой (пустой кружок).

$y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$.

Таким образом, на графике будет выколотая точка с координатами $(-1, 2)$.

Для большей точности построения найдем еще одну точку, например, при $x = -3$:

$y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$. Точка $(-3, 2)$ принадлежит графику.

2. Рассмотрим функцию $y = -2x$ на промежутке $x \ge -1$.

Это линейная функция, ее график — луч.

Найдем координаты начальной точки луча при $x = -1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$), точка будет закрашенной.

$y(-1) = -2(-1) = 2$.

Начало луча находится в точке $(-1, 2)$.

Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x = 0$:

$y(0) = -2(0) = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

Заметим, что в точке $x=-1$ левый предел функции ($y \to 2$) равен значению функции в этой точке ($y=2$), поэтому график является непрерывным. Он состоит из ветви параболы с вершиной в $(-2, 1)$, которая доходит до точки $(-1, 2)$, и луча, выходящего из этой же точки $(-1, 2)$ и проходящего через начало координат.

При каких значениях p график данной функции имеет с прямой y = p две общие точки?

Прямая $y = p$ — это горизонтальная прямая. Чтобы найти, при каких значениях $p$ она имеет с графиком функции ровно две общие точки, проанализируем график.

Количество точек пересечения меняется при прохождении прямой $y=p$ через "особые" точки графика: вершину параболы $(-2, 1)$ и точку стыка $(-1, 2)$.

• При $p < 1$, прямая $y=p$ пересекает только луч $y=-2x$ в одной точке. С параболой пересечений нет, так как ее наименьшее значение равно 1. Итог: 1 общая точка.
• При $p = 1$, прямая $y=p$ касается параболы в ее вершине $(-2, 1)$ (одна точка) и пересекает луч $y=-2x$ в одной точке (при $1=-2x$, $x=-0.5$, что удовлетворяет условию $x \ge -1$). Итог: 2 общие точки.
• При $1 < p < 2$, прямая $y=p$ пересекает параболу в двух точках (по обе стороны от оси симметрии $x=-2$) и луч $y=-2x$ в одной точке. Итог: 3 общие точки.
• При $p = 2$, прямая $y=p$ проходит через точку стыка $(-1, 2)$ и пересекает параболу еще в одной точке $(-3, 2)$. Итог: 2 общие точки.
• При $p > 2$, прямая $y=p$ пересекает только левую ветвь параболы в одной точке. С лучом $y=-2x$ пересечений нет, так как его значения не превышают 2. Итог: 1 общая точка.

Таким образом, график функции имеет с прямой $y=p$ ровно две общие точки при $p=1$ и $p=2$.

Ответ: $p=1; p=2$.

172 Постройте график функции $y = \begin{cases} -x - 2, & x < -2; \\ -x^2 + 2x + 8, & x \ge -2. \end{cases}$

При каких значениях $p$ график данной функции имеет с прямой $y = p$ две общие точки?

Постройте график функции $y = \begin{cases} -x - 2, & x < -2; \\ -x^2 + 2x + 8, & x \ge -2. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Построим график каждой части на ее промежутке определения.

1. При $x < -2$ функция имеет вид $y = -x - 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Так как область определения — луч $(-\infty; -2)$, то графиком будет луч.

Для построения найдем координаты двух точек. Возьмем граничную точку $x = -2$. В этой точке будет «выколотая» точка, так как неравенство строгое:$y(-2) = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0$. Координаты точки $(-2, 0)$.

Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x = -3$:$y(-3) = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$. Координаты точки $(-3, 1)$.

Итак, на промежутке $(-\infty; -2)$ график представляет собой луч, выходящий из выколотой точки $(-2, 0)$ и проходящий через точку $(-3, 1)$.

2. При $x \ge -2$ функция имеет вид $y = -x^2 + 2x + 8$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Значение $x_0=1$ удовлетворяет условию $x \ge -2$, значит, вершина параболы принадлежит нашему графику.

Найдем ординату вершины $y_0$:

$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.

Координаты вершины параболы: $(1, 9)$.

Найдем значение функции на границе промежутка, в точке $x = -2$:

$y(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) + 8 = -4 - 4 + 8 = 0$.

Точка $(-2, 0)$ является точкой «стыка» двух частей графика. Поскольку значение в этой точке совпадает со значением, к которому стремится первая часть, график является непрерывным. Точка $(-2, 0)$ принадлежит этой части графика.

Для более точного построения найдем точки пересечения параболы с осью Ox (нули функции):

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Обе точки принадлежат промежутку $x \ge -2$.

Итак, на промежутке $[-2; +\infty)$ график — это часть параболы с вершиной в точке $(1, 9)$, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

При каких значениях p график данной функции имеет с прямой y = p две общие точки?

Прямая $y=p$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. Количество общих точек этой прямой с графиком функции — это количество решений уравнения $y(x) = p$. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $p$, используя построенный график.

• При $p > 9$ (прямая выше вершины параболы), прямая $y=p$ пересекает только луч $y=-x-2$. Одна общая точка.
• При $p=9$ (прямая проходит через вершину параболы), прямая касается параболы в точке $(1, 9)$ и пересекает луч $y=-x-2$ в одной точке. Две общие точки.
• При $0 < p < 9$ (прямая между вершиной параболы и точкой стыка), прямая пересекает параболу в двух точках и луч в одной точке. Три общие точки.
• При $p=0$ (прямая проходит через точку стыка), прямая пересекает параболу в двух точках $(-2, 0)$ и $(4, 0)$. С лучом $y=-x-2$ на интервале $x<-2$ пересечений нет. Две общие точки.
• При $p < 0$ (прямая ниже точки стыка), прямая пересекает параболу в одной точке (с абсциссой большей 4) и не пересекает луч. Одна общая точка.

Следовательно, график функции имеет с прямой $y=p$ ровно две общие точки при $p=9$ и при $p=0$.

Ответ: $0; 9$.

173. Постройте график функции $y = |x^2 - 4x|$. При каких значениях $m$ график данной функции будет иметь с прямой $y = m$ три общие точки?

Постройте график функции $y = |x^2 - 4x|$.

Чтобы построить график функции $y = |x^2 - 4x|$, мы сначала построим график параболы $y_1 = x^2 - 4x$, а затем применим операцию взятия модуля.

1. Анализ функции $y_1 = x^2 - 4x$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение точек пересечения с осью Ox (нулей функции).
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Нахождение вершины параболы.
Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Координата $y$ вершины: $y_v = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.
Вершина параболы $y_1 = x^2 - 4x$ находится в точке $(2, -4)$.

4. Построение графика $y = |x^2 - 4x|$.
Операция взятия модуля $|f(x)|$ означает, что часть графика $f(x)$, которая лежит ниже оси Ox, должна быть отражена симметрично относительно этой оси, а часть, которая лежит выше или на оси, остается без изменений.
Для параболы $y_1 = x^2 - 4x$ отрицательные значения находятся на интервале $(0, 4)$. Эту часть графика мы отражаем вверх. Вершина $(2, -4)$ переходит в точку $(2, 4)$, которая становится точкой локального максимума нового графика.

Ответ: График функции $y = |x^2 - 4x|$ получен из параболы $y = x^2 - 4x$ путем симметричного отражения ее части, расположенной ниже оси абсцисс (на интервале $x \in (0, 4)$), относительно этой оси. График имеет точки "излома" на оси Ox в $(0,0)$ и $(4,0)$ и локальный максимум в точке $(2,4)$.

При каких значениях $m$ график данной функции будет иметь с прямой $y = m$ три общие точки?

Количество общих точек графика функции $y = |x^2 - 4x|$ и прямой $y = m$ соответствует количеству решений уравнения $|x^2 - 4x| = m$. Проанализируем это количество, используя построенный график. Прямая $y=m$ — это горизонтальная линия.

Рассмотрим различные значения $m$:
- Если $m < 0$, прямая находится ниже оси Ox, и общих точек с графиком нет, так как значение модуля не может быть отрицательным.
- Если $m = 0$, прямая $y = 0$ (ось Ox) имеет с графиком две общие точки: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
- Если $0 < m < 4$, прямая пересекает график в четырех точках.
- Если $m = 4$, прямая $y = 4$ проходит через локальный максимум графика в точке $(2, 4)$ (касание) и пересекает две другие ветви графика. В этом случае имеется ровно три общие точки.
- Если $m > 4$, прямая пересекает график в двух точках.
Таким образом, условие о трех общих точках выполняется только в одном случае.

Ответ: $m=4$.

174 Постройте график функции $y = |x^2 - 4|$. При каких значениях $m$ график данной функции будет иметь с прямой $y = m$ три общие точки?

Постройте график функции $y = |x^2 - 4|$.

Для построения графика функции $y = |x^2 - 4|$ выполним следующие шаги:
1. Сначала построим график параболы $y = x^2 - 4$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси $Oy$.

• Вершина параболы находится в точке $(0; -4)$.
• Ветви параболы направлены вверх.
• Найдем точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции), решив уравнение $x^2 - 4 = 0$. Получаем $(x-2)(x+2)=0$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

2. Теперь применим операцию взятия модуля. По определению, $|a| = a$, если $a \geq 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Это означает, что для построения графика $y = |f(x)|$ нужно:

• Часть графика функции $y = f(x)$, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $y \geq 0$), оставить без изменений.
• Часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), симметрично отразить относительно оси $Ox$.

3. Применительно к нашему случаю, $y = |x^2 - 4|$:

• На интервалах $(-\infty; -2]$ и $[2; \infty)$, где $x^2 - 4 \geq 0$, график совпадает с параболой $y = x^2 - 4$.
• На интервале $(-2; 2)$, где $x^2 - 4 < 0$, график получается отражением части параболы $y = x^2 - 4$ относительно оси $Ox$. Это будет график функции $y = -(x^2 - 4) = -x^2 + 4$. Эта часть представляет собой дугу параболы с ветвями вниз и вершиной в точке $(0; 4)$.

Итоговый график состоит из двух частей параболы $y = x^2 - 4$ на лучах $(-\infty; -2]$ и $[2; \infty)$, и дуги параболы $y = -x^2 + 4$ на интервале $(-2; 2)$.
Ответ: График функции представляет собой параболу $y = x^2 - 4$, у которой часть, лежащая ниже оси абсцисс, симметрично отражена относительно этой оси. Ключевые точки графика: локальный максимум в $(0; 4)$ и точки излома (минимумы) в $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

При каких значениях $m$ график данной функции будет иметь с прямой $y = m$ три общие точки?

Для ответа на этот вопрос нужно определить, сколько точек пересечения имеет график функции $y = |x^2 - 4|$ с горизонтальной прямой $y = m$ при различных значениях параметра $m$. Проанализируем количество пересечений, мысленно двигая прямую $y = m$ вдоль оси $Oy$ снизу вверх.

• Если $m < 0$, прямая $y=m$ находится ниже оси $Ox$. Так как $y = |x^2 - 4| \geq 0$, общих точек нет. Количество решений: 0.
• Если $m = 0$, прямая $y=m$ совпадает с осью $Ox$. График пересекает ось в точках $x=-2$ и $x=2$. Количество решений: 2.
• Если $0 < m < 4$, прямая $y=m$ пересекает как отраженную часть параболы, так и исходные ветви. Количество решений: 4.
• Если $m = 4$, прямая $y=m$ проходит через вершину отраженной параболы в точке $(0; 4)$ и пересекает две ветви исходной параболы. Уравнение $|x^2 - 4| = 4$ имеет решения $x^2 - 4 = 4$ (откуда $x^2=8$, $x = \pm 2\sqrt{2}$) и $x^2 - 4 = -4$ (откуда $x^2=0$, $x=0$). Таким образом, получаем три точки пересечения. Количество решений: 3.
• Если $m > 4$, прямая $y=m$ пересекает только две удаляющиеся вверх ветви параболы $y=x^2-4$. Количество решений: 2.

Следовательно, график функции имеет с прямой $y=m$ ровно три общие точки только при одном значении $m$.
Ответ: $m = 4$.

175. Постройте график функции $y = x^2 + 3$. При каких значениях $k$ график данной функции будет иметь с прямой $y = kx$ одну общую точку?

Постройте график функции $y = x^2 + 3$.

Функция $y = x^2 + 3$ является квадратичной. Её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

График данной функции можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем ее сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
$y_в = y(x_в) = 0^2 + 3 = 3$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0; 3)$. Осью симметрии является ось Oy ($x=0$).

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику, составив таблицу значений:

Отметив вершину и точки из таблицы на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график функции $y = x^2 + 3$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 3$ построен. Это парабола с вершиной в точке $(0; 3)$ и ветвями, направленными вверх, проходящая, например, через точки $(-1; 4)$ и $(1; 4)$.

При каких значениях k график данной функции будет иметь с прямой y = kx одну общую точку?

Общие точки графика функции $y = x^2 + 3$ и прямой $y = kx$ являются решениями системы уравнений:
$\begin{cases} y = x^2 + 3 \\ y = kx \end{cases}$

Чтобы найти абсциссы точек пересечения, приравняем правые части уравнений:
$x^2 + 3 = kx$

Перенесем все члены в левую часть и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно переменной $x$:
$x^2 - kx + 3 = 0$

Графики будут иметь одну общую точку в том и только в том случае, если это квадратное уравнение имеет единственный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант ($D$) уравнения равен нулю.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$ для нашего уравнения, где $a=1$, $b=-k$, $c=3$:
$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = k^2 - 12$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $k$:
$k^2 - 12 = 0$
$k^2 = 12$
$k = \pm\sqrt{12}$
$k = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm 2\sqrt{3}$

Таким образом, прямая $y=kx$ имеет одну общую точку с параболой $y=x^2+3$ (является ее касательной) при $k = 2\sqrt{3}$ и $k = -2\sqrt{3}$.

Ответ: $k = \pm 2\sqrt{3}$.

176 Постройте график функции $y = -x^2 - 5$. При каких значениях $k$ график данной функции будет иметь с прямой $y = kx$ одну общую точку?

Постройте график функции $y = -x^2 - 5$.

Графиком функции $y = -x^2 - 5$ является парабола. Для её построения определим ключевые параметры.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$. Так как он отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для параболы $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам $x_0 = -b/(2a)$ и $y_0 = y(x_0)$. В нашем случае $a=-1$, $b=0$, $c=-5$.
$x_0 = -0 / (2 \cdot (-1)) = 0$.
$y_0 = -(0)^2 - 5 = -5$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -5)$.

3. Ось симметрии. Осью симметрии является прямая $x = x_0$, то есть $x=0$ (ось Oy).

4. Контрольные точки. Найдем координаты нескольких точек, симметричных относительно оси симметрии:
- если $x = 1$, то $y = -(1)^2 - 5 = -1 - 5 = -6$. Точка $(1, -6)$.
- если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 - 5 = -1 - 5 = -6$. Точка $(-1, -6)$.
- если $x = 2$, то $y = -(2)^2 - 5 = -4 - 5 = -9$. Точка $(2, -9)$.
- если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 - 5 = -4 - 5 = -9$. Точка $(-2, -9)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0, -5)$ и найденные точки, а затем соединить их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, -5)$ и ветвями, направленными вниз.

При каких значениях k график данной функции будет иметь с прямой $y = kx$ одну общую точку?

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = -x^2 - 5$ и $y = kx$, необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} y = -x^2 - 5 \\ y = kx \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:
$-x^2 - 5 = kx$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + kx + 5 = 0$

Графики будут иметь одну общую точку в том случае, если это квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант уравнения равен нулю ($D=0$).

Найдем дискриминант. Для нашего уравнения $a=1$, $b=k$, $c=5$.
$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = k^2 - 20$.

Приравняем дискриминант к нулю и найдем значения $k$:
$k^2 - 20 = 0$
$k^2 = 20$
$k = \pm\sqrt{20}$

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Таким образом, получаем два значения для $k$.

Ответ: $k = 2\sqrt{5}$ и $k = -2\sqrt{5}$.