Страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

186 На рисунке 104 изображены прямые $y = x - 1$, $y = 3 - x$, $y = 4x + 1$, $y = 1$ и парабола $y = -x^2 + 2x$. Используя рисунок, установите, какая из систем уравнений не имеет решений.

1) $ \begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = x - 1. \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 4x + 1. \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 3 - x. \end{cases} $

4) $ \begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 1. \end{cases} $

Рис. 104

Чтобы определить, какая из систем уравнений не имеет решений, необходимо проанализировать взаимное расположение графика параболы $y = -x^2 + 2x$ и графиков прямых, входящих в каждую систему. Система не имеет решений, если графики соответствующих функций не пересекаются. Решение системы уравнений — это точки пересечения графиков функций.

Сначала проанализируем параболу $y = -x^2 + 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный). Найдем координаты ее вершины:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$

$y_v = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$, которая является точкой максимума для данной функции. На рисунке 104 эта парабола изображена.

Теперь рассмотрим каждую систему уравнений.

1) $\begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = x - 1. \end{cases}$

Графиком второго уравнения является прямая $y = x - 1$. Эта прямая возрастающая (угловой коэффициент $k=1$) и пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$. На рисунке видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Это означает, что система имеет два решения. Алгебраическая проверка подтверждает это: уравнение $-x^2 + 2x = x - 1$ или $x^2 - x - 1 = 0$ имеет дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5 > 0$, следовательно, есть два различных корня.

Ответ: система имеет два решения.

2) $\begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 4x + 1. \end{cases}$

Графиком второго уравнения является прямая $y = 4x + 1$. Это возрастающая прямая ($k=4$) с y-пересечением в точке $(0, 1)$. Хотя на рисунке кажется, что эта прямая пересекает параболу дважды, проведем алгебраическую проверку для точности. Приравняем выражения для $y$: $-x^2 + 2x = 4x + 1$, что приводит к уравнению $x^2 + 2x + 1 = 0$, или $(x+1)^2 = 0$. Это уравнение имеет ровно один корень $x=-1$. Это означает, что прямая $y = 4x + 1$ является касательной к параболе в точке $(-1, -3)$. Следовательно, система имеет одно решение (одна точка пересечения). Рисунок в этой части является неточным.

Ответ: система имеет одно решение.

3) $\begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 3 - x. \end{cases}$

Графиком второго уравнения является прямая $y = 3 - x$. Это убывающая прямая ($k=-1$) с y-пересечением в точке $(0, 3)$. Вершина параболы (ее самая высокая точка) находится в точке $(1, 1)$. Прямая $y = 3-x$ проходит значительно выше вершины параболы (например, в точке $x=1$, $y=3-1=2$, что выше 1). Так как ветви параболы направлены вниз, а прямая находится над ее вершиной, их графики не пересекаются. Проверим алгебраически: $-x^2 + 2x = 3 - x \implies x^2 - 3x + 3 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$. Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что у графиков нет точек пересечения. Следовательно, данная система не имеет решений. (Следует отметить, что на рисунке убывающая прямая изображена неверно, так как она пересекает параболу).

Ответ: система не имеет решений.

4) $\begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 1. \end{cases}$

Графиком второго уравнения является горизонтальная прямая $y=1$. Эта прямая проходит через вершину параболы $(1, 1)$. Таким образом, прямая касается параболы в одной точке. Система имеет одно решение. Это корректно отображено на рисунке.

Ответ: система имеет одно решение.

187 На рисунке 105 изображена окружность $x^2 + y^2 = 4$ и параболы $y = x^2 - 2$, $y = x^2 - 3$, $y = x^2$. Используя рисунок, установите соответствие между системой уравнений и количеством её решений.

A. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2. \end{cases}$

Б. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 3. \end{cases}$

В. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2. \end{cases}$

1) 1; 2) 4; 3) 3; 4) 2.

А

Б

В

Рис. 105

Для определения количества решений каждой системы уравнений необходимо найти число точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Во всех трех системах первое уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Второе уравнение в каждой системе задает параболу. Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и соответствующей параболы.

А. Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 - 2 \end{cases} $

Эта система соответствует графику А, на котором изображена парабола $y = x^2 - 2$ с вершиной в точке $(0, -2)$. Для нахождения количества решений решим систему аналитически. Подставим выражение для $x^2$ из второго уравнения ($x^2 = y + 2$) в первое:

$(y+2) + y^2 = 4$

$y^2 + y - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни легко угадываются: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

1. Если $y = 1$, то $x^2 = 1 + 2 = 3$, откуда $x = \pm\sqrt{3}$. Это дает две точки пересечения: $(\sqrt{3}, 1)$ и $(-\sqrt{3}, 1)$.

2. Если $y = -2$, то $x^2 = -2 + 2 = 0$, откуда $x = 0$. Это дает одну точку пересечения: $(0, -2)$.

Всего система имеет 3 решения, что соответствует 3 точкам пересечения на графике А.

Ответ: 3

Б. Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 - 3 \end{cases} $

Эта система соответствует графику Б, на котором изображена парабола $y = x^2 - 3$ с вершиной в точке $(0, -3)$. Несмотря на то, что на рисунке Б видны только две точки пересечения, для точного ответа решим систему аналитически. Подставим $x^2 = y + 3$ в уравнение окружности:

$(y+3) + y^2 = 4$

$y^2 + y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни уравнения: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

1. $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Тогда $x^2 = y_1 + 3 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + 3 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} > 0$, существует два различных значения $x$. Это дает две точки пересечения.

2. $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$. Тогда $x^2 = y_2 + 3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} + 3 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$. Так как $5 > \sqrt{5}$, то $\frac{5 - \sqrt{5}}{2} > 0$, и для этого значения $y$ также существует два различных значения $x$. Это дает еще две точки пересечения.

Таким образом, система имеет 4 решения. Рисунок Б является неточным.

Ответ: 4

В. Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 \end{cases} $

Эта система соответствует графику В, на котором изображена парабола $y = x^2$ с вершиной в точке $(0, 0)$. Решим систему аналитически, подставив $y$ вместо $x^2$ в первое уравнение:

$y + y^2 = 4$

$y^2 + y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$.

Корни уравнения: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Из второго уравнения системы $y = x^2$ следует, что $y$ не может быть отрицательным ($y \ge 0$).

1. $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $y_1 > 0$. Это допустимое значение. При этом $x^2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ дает два различных значения $x$. Это две точки пересечения.

2. $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$. Это значение очевидно отрицательное, поэтому оно не является решением, так как $x^2$ не может быть отрицательным.

Следовательно, система имеет 2 решения, что соответствует 2 точкам пересечения на графике В.

Ответ: 2

188 Используя графические представления, установите соответствие между системой уравнений и количеством её решений.

А. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = 2 - x^2. \end{cases}$

Б. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = 3 - x^2. \end{cases}$

В. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = 4 - x^2. \end{cases}$

1) 0; 2) 3; 3) 2; 4) 4.

Для того чтобы установить соответствие, необходимо найти количество решений для каждой системы уравнений. Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Во всех трех системах первое уравнение $x^2 + y^2 = 3$ задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{3}$. Вторые уравнения вида $y = k - x^2$ задают параболы с вершинами в точке $(0, k)$ и ветвями, направленными вниз.

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 3, \\y = 2 - x^2.\end{cases}$Здесь парабола $y = 2 - x^2$ имеет вершину в точке $(0, 2)$.Для нахождения количества решений подставим выражение для $x^2$ из второго уравнения ($x^2 = 2 - y$) в первое:$(2 - y) + y^2 = 3$$y^2 - y - 1 = 0$Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня для $y$:$y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x^2 = 2 - y$.1. Для $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.62$:$x^2 = 2 - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - (1 + \sqrt{5})}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $3 - \sqrt{5} > 0$, следовательно, $x^2 > 0$. Уравнение имеет два различных корня для $x$.2. Для $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.62$:$x^2 = 2 - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - (1 - \sqrt{5})}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.Это значение положительно ($x^2 > 0$), следовательно, уравнение также имеет два различных корня для $x$.Итого, система имеет $2 + 2 = 4$ решения, что соответствует варианту 4).

Ответ: 4.

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 3, \\y = 3 - x^2.\end{cases}$Парабола $y = 3 - x^2$ имеет вершину в точке $(0, 3)$.Подставим $x^2 = 3 - y$ из второго уравнения в первое:$(3 - y) + y^2 = 3$$y^2 - y = 0$$y(y - 1) = 0$Уравнение имеет два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из $x^2 = 3 - y$.1. Для $y_1 = 0$:$x^2 = 3 - 0 = 3$.Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. Это дает две точки пересечения: $(\sqrt{3}, 0)$ и $(-\sqrt{3}, 0)$.2. Для $y_2 = 1$:$x^2 = 3 - 1 = 2$.Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$. Это дает еще две точки пересечения: $(\sqrt{2}, 1)$ и $(-\sqrt{2}, 1)$.Таким образом, система имеет $2 + 2 = 4$ решения, что соответствует варианту 4).

Ответ: 4.

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 3, \\y = 4 - x^2.\end{cases}$Парабола $y = 4 - x^2$ имеет вершину в точке $(0, 4)$.Подставим $x^2 = 4 - y$ из второго уравнения в первое:$(4 - y) + y^2 = 3$$y^2 - y + 1 = 0$Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней для $y$. Это означает, что графики окружности и параболы не пересекаются.Следовательно, система не имеет решений. Это соответствует варианту 1).

Ответ: 0.