Страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

238 Укажите неравенство, верное при любых значениях переменных и удовлетворяющее условию $a > b$.

1) $b - a < 0$;2) $a - b < 0$;3) $a - b > 1$;4) $a - b < 2$.

Чтобы найти верное неравенство, необходимо проанализировать каждое из предложенных утверждений, исходя из условия $a > b$.

1) $b - a < 0$;

Данное неравенство является прямым следствием исходного. Выполним равносильное преобразование условия $a > b$, вычтя из обеих его частей $a$:
$a - a > b - a$
$0 > b - a$
Полученное неравенство $0 > b - a$ эквивалентно $b - a < 0$. Следовательно, это утверждение всегда верно, если $a > b$.

2) $a - b < 0$;

Преобразуем исходное условие $a > b$, вычтя из обеих частей $b$:
$a - b > b - b$
$a - b > 0$
Это означает, что разность $a - b$ всегда положительна. Утверждение $a - b < 0$ противоречит этому выводу. Например, если $a=3$ и $b=2$, то $a > b$ верно, но $a-b = 1$, а $1 < 0$ — ложно.

3) $a - b > 1$;

Хотя из $a > b$ следует, что $a - b > 0$, не гарантируется, что разность будет больше 1. Например, если $a = 0.5$ и $b = 0.1$, условие $a > b$ выполнено, но $a - b = 0.4$, и неравенство $0.4 > 1$ является ложным.

4) $a - b < 2$.

Хотя из $a > b$ следует, что $a - b > 0$, разность может принимать значения, которые больше или равны 2. Например, если $a = 5$ и $b = 1$, условие $a > b$ выполнено, но $a - b = 4$, и неравенство $4 < 2$ является ложным.

Таким образом, единственное неравенство, которое всегда истинно при выполнении условия $a > b$ — это первое.
Ответ: 1

239 Укажите неравенство, верное при любых значениях переменных и удовлетворяющее условию $a > -b$.

1) $b - a > 0$;

2) $a + b < 0$;

3) $a + b > 1$;

4) $a - b < -1$.

Проанализируем исходное условие задачи: $a > -b$. Это неравенство можно преобразовать, прибавив к обеим его частям переменную $b$:
$a + b > -b + b$
$a + b > 0$

Таким образом, условие $a > -b$ равносильно (эквивалентно) условию $a + b > 0$. Задача, скорее всего, состоит в том, чтобы найти среди предложенных вариантов такое неравенство, которое гарантирует выполнение условия $a + b > 0$. Иными словами, мы ищем достаточное условие для $a+b>0$. Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $b - a > 0$

Это неравенство можно переписать в виде $b > a$. Оно не гарантирует, что сумма $a+b$ будет положительной. Можно подобрать контрпример: пусть $a = -10$ и $b = -1$. Условие $b>a$ выполняется, так как $-1 > -10$. Однако их сумма $a+b = -11$, что не является положительным числом. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $a + b < 0$

Это неравенство прямо противоречит выведенному нами условию $a + b > 0$. Если величина меньше нуля, она не может быть одновременно больше нуля. Следовательно, этот вариант не подходит.

3) $a + b > 1$

Если выполняется неравенство $a+b > 1$, это означает, что сумма $a+b$ является числом, большим единицы. Любое число, которое больше 1, также обязательно больше 0. Таким образом, из условия $a+b > 1$ всегда следует, что $a+b > 0$. Это означает, что данное неравенство является достаточным для выполнения исходного условия. Этот вариант подходит.

4) $a - b < -1$

Это неравенство можно переписать как $a < b-1$. Оно не гарантирует, что сумма $a+b$ будет положительной. Подберем контрпример: пусть $b = 0$ и $a = -3$. Условие $a < b-1$ выполняется, так как $-3 < 0-1$, что равносильно $-3 < -1$. Однако их сумма $a+b = -3$, что не является положительным числом. Следовательно, этот вариант не подходит.

Таким образом, единственное неравенство из предложенных, которое гарантирует выполнение условия $a > -b$ (то есть $a+b>0$), это неравенство под номером 3.

Ответ: 3

240 Укажите неверное неравенство, если известно, что числа $b$ и $c$ удовлетворяют условию $b < c$.

1) $3b < 3c;$

2) $-3b < -3c;$

3) $b + 15 < c + 15;$

4) $b - 2 < c - 2.$

Для решения задачи необходимо проверить каждое из предложенных неравенств, опираясь на исходное условие $b < c$ и основные свойства числовых неравенств.

1) $3b < 3c$

Это неравенство можно получить из исходного $b < c$, умножив обе его части на положительное число 3. Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей на одно и то же положительное число ($3 > 0$) знак неравенства сохраняется. Следовательно, неравенство $3b < 3c$ является верным.

2) $-3b < -3c$

Это неравенство можно получить из исходного $b < c$, умножив обе его части на отрицательное число -3. Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей на одно и то же отрицательное число ($-3 < 0$) знак неравенства должен измениться на противоположный (то есть, знак '<' должен стать знаком '$>$'). Таким образом, верным было бы неравенство $-3b > -3c$. Предложенное неравенство $-3b < -3c$ является неверным.

3) $b + 15 < c + 15$

Это неравенство можно получить из исходного $b < c$, прибавив к обеим его частям число 15. Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить (или отнять) одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Следовательно, неравенство $b + 15 < c + 15$ является верным.

4) $b - 2 < c - 2$

Это неравенство можно получить из исходного $b < c$, вычтя из обеих его частей число 2. Аналогично предыдущему пункту, знак неравенства при этом не меняется. Следовательно, неравенство $b - 2 < c - 2$ является верным.

Таким образом, проанализировав все варианты, мы установили, что единственным неверным неравенством является неравенство под номером 2.

Ответ: 2.

241 Укажите неверное неравенство, если известно, что числа $b$ и $c$ удовлетворяют условию $b > c$.

1) $3b + 1 > 3c + 1;$

2) $1 - 3b < 1 - 3c;$

3) $\frac{b}{4} < \frac{c}{4};$

4) $-c > -b.$

Для того чтобы определить неверное неравенство, необходимо последовательно проверить каждое из предложенных утверждений, основываясь на условии $b > c$.

1) $3b + 1 > 3c + 1$
Возьмем исходное верное неравенство $b > c$.
Умножим обе его части на положительное число 3. Согласно свойствам неравенств, знак неравенства при этом не изменится:
$3b > 3c$
Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства число 1. Это действие также не меняет знак неравенства:
$3b + 1 > 3c + 1$
Следовательно, данное неравенство является верным.

2) $1 - 3b < 1 - 3c$
Снова начнем с условия $b > c$.
Умножим обе части на отрицательное число -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$-3b < -3c$
Далее прибавим к обеим частям число 1, что не изменит знак неравенства:
$1 - 3b < 1 - 3c$
Следовательно, это неравенство также является верным.

3) $\frac{b}{4} < \frac{c}{4}$
Исходя из условия $b > c$.
Разделим обе части на положительное число 4. Знак неравенства при делении на положительное число должен сохраниться:
$\frac{b}{4} > \frac{c}{4}$
Однако в предложенном варианте указано неравенство $\frac{b}{4} < \frac{c}{4}$, которое имеет противоположный знак.
Следовательно, данное неравенство неверное.

4) $-c > -b$
Используем исходное неравенство $b > c$.
Умножим обе части на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$-b < -c$
Неравенство $-b < -c$ равносильно (эквивалентно) неравенству $-c > -b$ (если поменять местами левую и правую части, знак неравенства разворачивается).
Следовательно, это неравенство является верным.

Таким образом, в результате проверки всех вариантов было установлено, что единственным неверным неравенством является неравенство под номером 3.

Ответ: 3

242 На координатной прямой изображено число $a$.

Какие из указанных неравенств являются верными?

1) $a^2 > 1$;

2) $-1 < \frac{1}{a} < 0$;

3) $-\frac{1}{a} > 1$;

4) $-a > 1$.

Проанализируем информацию, представленную на координатной прямой.

Число $a$ расположено слева от нуля, следовательно, $a$ — отрицательное число: $a < 0$.

На прямой отмечены точки $a$, 0 и 1. Расстояние от точки $a$ до нуля равно $|a|$. Расстояние от точки 1 до нуля равно 1. Из рисунка видно, что расстояние от $a$ до 0 больше, чем расстояние от 1 до 0.

Следовательно, мы можем записать неравенство: $|a| > 1$.

Поскольку $a$ — отрицательное число, его модуль определяется как $|a| = -a$. Подставляя это в неравенство выше, получаем: $-a > 1$. Если умножить обе части этого неравенства на -1, необходимо изменить знак неравенства на противоположный: $a < -1$.

Теперь, основываясь на том, что $a < -1$, проверим каждое из предложенных неравенств. Для удобства можно использовать конкретное значение, удовлетворяющее этому условию, например, $a = -2$.

1) $a^2 > 1$

Подставим контрольное значение $a = -2$: $(-2)^2 > 1$, что дает $4 > 1$. Это верное утверждение.
Докажем в общем виде. Мы установили, что $|a| > 1$. Так как обе части этого неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $|a|^2 > 1^2$. Поскольку $|a|^2 = a^2$ для любого действительного числа $a$, мы получаем $a^2 > 1$.
Таким образом, неравенство 1 является верным.

2) $-1 < \frac{1}{a} < 0$

Подставим $a = -2$: $-1 < \frac{1}{-2} < 0$, что дает $-1 < -0.5 < 0$. Это верное двойное неравенство.
Докажем в общем виде.
Поскольку $a < 0$, его обратное значение $\frac{1}{a}$ также будет отрицательным, отсюда следует правая часть неравенства: $\frac{1}{a} < 0$.
Теперь докажем левую часть. Мы исходим из того, что $a < -1$. Поскольку обе части неравенства отрицательны, при взятии обратной величины от каждой части знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{a} > \frac{1}{-1}$, что равносильно $\frac{1}{a} > -1$.
Объединив два результата, получаем: $-1 < \frac{1}{a} < 0$.
Таким образом, неравенство 2 является верным.

3) $-\frac{1}{a} > 1$

Подставим $a = -2$: $-\frac{1}{-2} > 1$, что дает $0.5 > 1$. Это неверное утверждение.
Докажем в общем виде. В предыдущем пункте мы показали, что $\frac{1}{a} > -1$. Умножим обе части этого неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $(-\frac{1}{a}) < (-1) \cdot (-1)$, что дает $-\frac{1}{a} < 1$.
Это противоречит исходному неравенству.
Таким образом, неравенство 3 является неверным.

4) $-a > 1$

Подставим $a = -2$: $-(-2) > 1$, что дает $2 > 1$. Это верное утверждение.
Как было показано в начальном анализе, это неравенство является прямой математической записью того факта, что расстояние от $a$ до 0 (которое равно $-a$, так как $a < 0$) больше 1.
Таким образом, неравенство 4 является верным.

Итак, верными являются неравенства под номерами 1, 2 и 4.

Ответ: 1, 2, 4.

243 На координатной прямой изображено число $a$.

Какие из указанных неравенств являются верными?

1) $a^2 > 1$;

2) $-\frac{1}{a} > 0$;

3) $-\frac{1}{a} > 1$;

4) $a - 1 > 0$.

Проанализируем расположение числа a на координатной прямой. Число a находится левее нуля, но правее -1 (поскольку расстояние от a до 0 меньше, чем стандартный единичный отрезок от 0 до 1). Следовательно, мы можем записать для a двойное неравенство: $$-1 < a < 0$$. Это означает, что a — отрицательное число, модуль которого меньше 1.

Для наглядности и проверки наших рассуждений можно выбрать конкретное значение a из этого интервала, например, $$a = -0.5$$. Теперь последовательно проверим каждое из предложенных неравенств.

1) $a^2 > 1$

Поскольку $$-1 < a < 0$$, модуль числа a меньше 1 ($$|a| < 1$$). При возведении в квадрат числа, модуль которого меньше 1, результат также будет меньше 1. Кроме того, квадрат любого ненулевого числа положителен. Таким образом, $$0 < a^2 < 1$$. Неравенство $$a^2 > 1$$ утверждает, что квадрат a больше 1, что противоречит нашему выводу. Пример: если $$a = -0.5$$, то $$a^2 = (-0.5)^2 = 0.25$$. Неравенство $$0.25 > 1$$ является ложным. Значит, данное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

2) $-\frac{1}{a} > 0$

Так как a — отрицательное число ($$a < 0$$), то обратное ему число $$\frac{1}{a}$$ также будет отрицательным. Выражение $$-\frac{1}{a}$$ является противоположным к отрицательному числу $$\frac{1}{a}$$, а значит, оно положительно. Любое положительное число больше нуля. Пример: если $$a = -0.5$$, то $$-\frac{1}{a} = -\frac{1}{-0.5} = -(-2) = 2$$. Неравенство $$2 > 0$$ является истинным. Значит, данное неравенство верно.

Ответ: верно.

3) $-\frac{1}{a} > 1$

Как мы установили в предыдущем пункте, $$-\frac{1}{a}$$ — положительное число. Теперь сравним его с 1. Начнем с условия $$-1 < a < 0$$. Поделим все части неравенства на a. Так как a — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные: $$\frac{-1}{a} > \frac{a}{a} > \frac{0}{a}$$ $$-\frac{1}{a} > 1 > 0$$ Из этого следует, что $$-\frac{1}{a} > 1$$. Пример: если $$a = -0.5$$, то $$-\frac{1}{a} = 2$$. Неравенство $$2 > 1$$ является истинным. Значит, данное неравенство верно.

Ответ: верно.

4) $a - 1 > 0$

Известно, что a — отрицательное число ($$a < 0$$). Если из отрицательного числа вычесть положительное число (1), результат будет отрицательным и даже меньшим, чем исходное число a. Формально: прибавим -1 к обеим частям неравенства $$a < 0$$: $$a - 1 < 0 - 1$$ $$a - 1 < -1$$ Число, которое меньше -1, не может быть больше 0. Пример: если $$a = -0.5$$, то $$a - 1 = -0.5 - 1 = -1.5$$. Неравенство $$-1.5 > 0$$ является ложным. Значит, данное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

Таким образом, верными являются неравенства под номерами 2 и 3.

244 На координатной прямой отмечены числа $a$, $b$, $c$.

Какое из следующих неравенств является неверным?

1) $-abc > 0;$

2) $ab^2c < 0;$

3) $ac < bc;$

4) $a + b < c.$

Для решения задачи проанализируем информацию, данную на координатной прямой.

Из расположения точек относительно нуля мы можем определить знаки чисел $a$, $b$ и $c$: • Числа $a$ и $b$ находятся левее нуля, значит, они отрицательные: $a < 0$ и $b < 0$.
• Число $c$ находится правее нуля, значит, оно положительное: $c > 0$.
• Также, точка $a$ находится левее точки $b$, из чего следует, что $a < b$.

Теперь проверим каждое из предложенных неравенств.

1) $-abc > 0$
Сначала определим знак произведения $abc$. Мы перемножаем два отрицательных числа ($a$, $b$) и одно положительное ($c$). Результат будет положительным: $(-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.
Таким образом, $abc > 0$.
Далее, выражение $-abc$ будет иметь противоположный знак, то есть будет отрицательным: $-abc < 0$.
Неравенство $-abc > 0$ утверждает, что отрицательное число больше нуля, что является ложным.
Ответ: неверно.

2) $ab^2c < 0$
Определим знак выражения $ab^2c$. • $a$ — отрицательное (–).
• $b$ — отрицательное, но $b^2$ будет положительным (+), так как любое ненулевое число в квадрате положительно.
• $c$ — положительное (+).
Знак всего произведения будет: $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Таким образом, выражение $ab^2c$ отрицательно. Неравенство $ab^2c < 0$ является истинным.
Ответ: верно.

3) $ac < bc$
Можно упростить это неравенство, разделив обе части на $c$. Так как мы знаем, что $c > 0$ (положительное число), знак неравенства при делении не меняется: $\frac{ac}{c} < \frac{bc}{c} \implies a < b$.
Из расположения точек на координатной прямой мы видим, что $a$ левее $b$, что соответствует неравенству $a < b$. Следовательно, исходное неравенство истинно.
Ответ: верно.

4) $a + b < c$
Числа $a$ и $b$ оба отрицательные. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом, то есть $a + b < 0$. Число $c$ является положительным, то есть $c > 0$. Любое отрицательное число ($a+b$) всегда меньше любого положительного числа ($c$). Следовательно, неравенство является истинным.
Ответ: верно.

Итак, единственное неверное неравенство — это неравенство под номером 1.

Ответ: 1