Страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

224 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 2(2x - 3y) - 4x = 2y - 8, \\ 6x + 3 = 8x - 3(2y - 4); \end{cases}$

б) $\begin{cases} 16 - (5x + 2y) = 3x - 2y, \\ 4y + 20 = 2(3x - 4y) - 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2(2x - 3y) - 4x = 2y - 8, \\ 6x + 3 = 8x - 3(2y - 4); \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$2(2x - 3y) - 4x = 2y - 8$

Раскроем скобки:

$4x - 6y - 4x = 2y - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$-6y = 2y - 8$

Перенесем все слагаемые с $y$ в левую часть, а числа оставим в правой:

$-6y - 2y = -8$

$-8y = -8$

$y = 1$

Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его во второе уравнение системы, чтобы найти $x$.

Второе уравнение:

$6x + 3 = 8x - 3(2y - 4)$

Подставляем $y=1$:

$6x + 3 = 8x - 3(2(1) - 4)$

$6x + 3 = 8x - 3(2 - 4)$

$6x + 3 = 8x - 3(-2)$

$6x + 3 = 8x + 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$3 - 6 = 8x - 6x$

$-3 = 2x$

$x = -\frac{3}{2} = -1,5$

Таким образом, решение системы: $x = -1,5$ и $y = 1$.

Ответ: $(-1,5; 1)$

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 16 - (5x + 2y) = 3x - 2y, \\ 4y + 20 = 2(3x - 4y) - 4. \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$16 - (5x + 2y) = 3x - 2y$

Раскроем скобки:

$16 - 5x - 2y = 3x - 2y$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а с $y$ — в левую:

$16 - 5x + 5x = 3x + 5x - 2y + 2y$

$16 = 8x$

$x = \frac{16}{8}$

$x = 2$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его во второе уравнение системы, чтобы найти $y$.

Второе уравнение:

$4y + 20 = 2(3x - 4y) - 4$

Подставляем $x=2$:

$4y + 20 = 2(3(2) - 4y) - 4$

$4y + 20 = 2(6 - 4y) - 4$

$4y + 20 = 12 - 8y - 4$

$4y + 20 = 8 - 8y$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:

$4y + 8y = 8 - 20$

$12y = -12$

$y = -1$

Таким образом, решение системы: $x = 2$ и $y = -1$.

Ответ: $(2; -1)$

225. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{x + 2y}{5} + \frac{3x - y}{3} = 5, \\ 2x - 3y = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{4x + 1}{3} - \frac{5x - 3y}{4} = 3, \\ 7x - 10y = 5. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}\frac{x + 2y}{5} + \frac{3x - y}{3} = 5, \\2x - 3y = -1.\end{cases}$
Сначала упростим первое уравнение системы. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 15 и умножим обе части уравнения на него:
$15 \cdot \frac{x + 2y}{5} + 15 \cdot \frac{3x - y}{3} = 15 \cdot 5$
$3(x + 2y) + 5(3x - y) = 75$
Раскроем скобки:
$3x + 6y + 15x - 5y = 75$
Приведем подобные слагаемые:
$(3x + 15x) + (6y - 5y) = 75$
$18x + y = 75$
Теперь система уравнений имеет более простой вид:
$\begin{cases}18x + y = 75, \\2x - 3y = -1.\end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 75 - 18x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x - 3(75 - 18x) = -1$
$2x - 225 + 54x = -1$
$56x = 224$
$x = \frac{224}{56}$
$x = 4$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 4$ в выражение для $y$:
$y = 75 - 18 \cdot 4 = 75 - 72 = 3$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(4; 3)$.
Ответ: $(4; 3)$.

б) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}\frac{4x + 1}{3} - \frac{5x - 3y}{4} = 3, \\7x - 10y = 5.\end{cases}$
Упростим первое уравнение, избавившись от знаменателей. Общий знаменатель для 3 и 4 равен 12. Умножим обе части уравнения на 12:
$12 \cdot \frac{4x + 1}{3} - 12 \cdot \frac{5x - 3y}{4} = 12 \cdot 3$
$4(4x + 1) - 3(5x - 3y) = 36$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:
$16x + 4 - 15x + 9y = 36$
Приведем подобные слагаемые:
$(16x - 15x) + 9y = 36 - 4$
$x + 9y = 32$
Получаем эквивалентную систему уравнений:
$\begin{cases}x + 9y = 32, \\7x - 10y = 5.\end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 32 - 9y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$7(32 - 9y) - 10y = 5$
$224 - 63y - 10y = 5$
$224 - 73y = 5$
$-73y = 5 - 224$
$-73y = -219$
$y = \frac{-219}{-73}$
$y = 3$
Найдем значение $x$, подставив $y = 3$ в выражение для $x$:
$x = 32 - 9 \cdot 3 = 32 - 27 = 5$
Следовательно, решение данной системы — пара чисел $(5; 3)$.
Ответ: $(5; 3)$.

226 а) Найдите значение выражения $|x_1 - y_1| + \frac{1}{|x_2 - y_2|}$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений

$\begin{cases} xy = 63, \\ x + y = 16; \end{cases}$

б) найдите значение выражения $|x_1 - x_2| + \frac{2}{|y_1 - y_2|}$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений

$\begin{cases} xy = -91, \\ x + y = -6. \end{cases}$

а) Для нахождения значения выражения нам необходимо найти решения $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ системы уравнений: $ \begin{cases} xy = 63, \\ x + y = 16. \end{cases} $ Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив значения из системы, получим уравнение: $t^2 - 16t + 63 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14}{2} = 7$ и $t_2 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2} = \frac{18}{2} = 9$. Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(7; 9)$ и $(9; 7)$.

Пусть $(x_1; y_1) = (7; 9)$ и $(x_2; y_2) = (9; 7)$. Теперь подставим эти значения в искомое выражение: $|x_1 - y_1| + \frac{1}{|x_2 - y_2|} = |7 - 9| + \frac{1}{|9 - 7|} = |-2| + \frac{1}{|2|} = 2 + \frac{1}{2} = 2,5$. Если бы мы выбрали $(x_1; y_1) = (9; 7)$ и $(x_2; y_2) = (7; 9)$, результат был бы таким же: $|9 - 7| + \frac{1}{|7 - 9|} = 2 + \frac{1}{2} = 2,5$.

Ответ: $2,5$.

б) Аналогично найдем решения системы уравнений: $ \begin{cases} xy = -91, \\ x + y = -6. \end{cases} $ Составим и решим соответствующее квадратное уравнение $t^2 - (-6)t + (-91) = 0$, то есть $t^2 + 6t - 91 = 0$.

Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-91) = 36 + 364 = 400$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{-6 - \sqrt{400}}{2} = \frac{-6 - 20}{2} = -13$ и $t_2 = \frac{-6 + \sqrt{400}}{2} = \frac{-6 + 20}{2} = 7$. Следовательно, решениями системы являются пары $(-13; 7)$ и $(7; -13)$.

Пусть $(x_1; y_1) = (-13; 7)$ и $(x_2; y_2) = (7; -13)$. Подставим эти значения в выражение $|x_1 - x_2| + \frac{2}{|y_1 - y_2|}$: $|x_1 - x_2| = |-13 - 7| = |-20| = 20$. $|y_1 - y_2| = |7 - (-13)| = |7 + 13| = |20| = 20$. Значение выражения равно $20 + \frac{2}{20} = 20 + \frac{1}{10} = 20,1$.

Ответ: $20,1$.

227 а) Найдите значение выражения $\frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2}$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений $\begin{cases} xy = -80 \\ x - y = -21 \end{cases}$;

б) найдите значение выражения $\frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2}$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений $\begin{cases} xy = 60 \\ x - y = -11 \end{cases}$.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy = -80 \\ x - y = -21 \end{cases} $$ Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Необходимо найти значение выражения $\frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2}$.

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = y - 21$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $(y - 21)y = -80$ $y^2 - 21y + 80 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Его корнями являются $y_1$ и $y_2$. По теореме Виета, сумма и произведение корней равны: $y_1 + y_2 = 21$ $y_1 y_2 = 80$

Теперь преобразуем искомое выражение, приведя дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2} = \frac{x_1 y_2 + x_2 y_1}{y_1 y_2} $$

Поскольку $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями, то для них выполняются соотношения $x_1 = y_1 - 21$ и $x_2 = y_2 - 21$. Подставим их в числитель полученной дроби: $x_1 y_2 + x_2 y_1 = (y_1 - 21)y_2 + (y_2 - 21)y_1 = y_1 y_2 - 21y_2 + y_2 y_1 - 21y_1$ $= 2y_1 y_2 - 21(y_1 + y_2)$

Теперь подставим значения суммы и произведения корней, найденные по теореме Виета: Числитель: $2 \cdot (80) - 21 \cdot (21) = 160 - 441 = -281$. Знаменатель: $y_1 y_2 = 80$.

Таким образом, значение выражения равно: $$ \frac{-281}{80} = -\frac{281}{80} $$

Ответ: $-\frac{281}{80}$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy = 60 \\ x - y = -11 \end{cases} $$ Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Необходимо найти значение выражения $\frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2}$.

Действуем аналогично пункту а). Из второго уравнения выразим $x$: $x = y - 11$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(y - 11)y = 60$ $y^2 - 11y - 60 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения являются $y_1$ и $y_2$. По теореме Виета найдем их сумму и произведение: $y_1 + y_2 = 11$ $y_1 y_2 = -60$

Преобразуем искомое выражение: $$ \frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2} = \frac{x_1 y_2 + x_2 y_1}{y_1 y_2} $$

Соотношения для решений: $x_1 = y_1 - 11$ и $x_2 = y_2 - 11$. Подставляем их в числитель: $x_1 y_2 + x_2 y_1 = (y_1 - 11)y_2 + (y_2 - 11)y_1 = y_1 y_2 - 11y_2 + y_2 y_1 - 11y_1$ $= 2y_1 y_2 - 11(y_1 + y_2)$

Подставляем значения, найденные по теореме Виета: Числитель: $2(-60) - 11(11) = -120 - 121 = -241$. Знаменатель: $y_1 y_2 = -60$.

Таким образом, значение выражения равно: $$ \frac{-241}{-60} = \frac{241}{60} $$

Ответ: $\frac{241}{60}$.

228 a) Найдите значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ 7x - xy = 2; \end{cases}$

б) Найдите значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений:

$\begin{cases} xy - y^2 = 7, \\ xy + 5y = 13. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ 7x - xy = 2 \end{cases} $$ Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Требуется найти значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$.

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить слагаемое $xy$: $$ (x^2 + xy) + (7x - xy) = 6 + 2 $$ $$ x^2 + 7x = 8 $$ $$ x^2 + 7x - 8 = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Его корнями являются значения $x_1$ и $x_2$ из пар решений $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$. Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна $x_1 + x_2 = -7$.

Теперь выразим произведение $xy$ из второго уравнения исходной системы: $$ xy = 7x - 2 $$ Это соотношение справедливо для обоих решений системы, следовательно: $$ x_1y_1 = 7x_1 - 2 $$ $$ x_2y_2 = 7x_2 - 2 $$

Подставим эти выражения в искомое выражение $x_1y_1 + x_2y_2$: $$ x_1y_1 + x_2y_2 = (7x_1 - 2) + (7x_2 - 2) $$ $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 7x_1 + 7x_2 - 4 $$ $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 7(x_1 + x_2) - 4 $$

Мы уже определили, что сумма $x_1 + x_2 = -7$. Подставим это значение в полученное выражение: $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 7(-7) - 4 = -49 - 4 = -53 $$

Ответ: -53

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy - y^2 = 7 \\ xy + 5y = 13 \end{cases} $$ Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Требуется найти значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить слагаемое $xy$: $$ (xy + 5y) - (xy - y^2) = 13 - 7 $$ $$ xy + 5y - xy + y^2 = 6 $$ $$ y^2 + 5y - 6 = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Его корнями являются значения $y_1$ и $y_2$ из пар решений $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$. Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна $y_1 + y_2 = -5$.

Теперь выразим произведение $xy$ из второго уравнения исходной системы: $$ xy = 13 - 5y $$ Это соотношение справедливо для обоих решений системы, следовательно: $$ x_1y_1 = 13 - 5y_1 $$ $$ x_2y_2 = 13 - 5y_2 $$

Подставим эти выражения в искомое выражение $x_1y_1 + x_2y_2$: $$ x_1y_1 + x_2y_2 = (13 - 5y_1) + (13 - 5y_2) $$ $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 13 + 13 - 5y_1 - 5y_2 $$ $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 26 - 5(y_1 + y_2) $$

Мы уже определили, что сумма $y_1 + y_2 = -5$. Подставим это значение в полученное выражение: $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 26 - 5(-5) = 26 + 25 = 51 $$

Ответ: 51