Номер 228, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

228 a) Найдите значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ 7x - xy = 2; \end{cases}$

б) Найдите значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений:

$\begin{cases} xy - y^2 = 7, \\ xy + 5y = 13. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ 7x - xy = 2 \end{cases} $$ Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Требуется найти значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$.

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить слагаемое $xy$: $$ (x^2 + xy) + (7x - xy) = 6 + 2 $$ $$ x^2 + 7x = 8 $$ $$ x^2 + 7x - 8 = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Его корнями являются значения $x_1$ и $x_2$ из пар решений $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$. Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна $x_1 + x_2 = -7$.

Теперь выразим произведение $xy$ из второго уравнения исходной системы: $$ xy = 7x - 2 $$ Это соотношение справедливо для обоих решений системы, следовательно: $$ x_1y_1 = 7x_1 - 2 $$ $$ x_2y_2 = 7x_2 - 2 $$

Подставим эти выражения в искомое выражение $x_1y_1 + x_2y_2$: $$ x_1y_1 + x_2y_2 = (7x_1 - 2) + (7x_2 - 2) $$ $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 7x_1 + 7x_2 - 4 $$ $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 7(x_1 + x_2) - 4 $$

Мы уже определили, что сумма $x_1 + x_2 = -7$. Подставим это значение в полученное выражение: $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 7(-7) - 4 = -49 - 4 = -53 $$

Ответ: -53

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy - y^2 = 7 \\ xy + 5y = 13 \end{cases} $$ Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Требуется найти значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить слагаемое $xy$: $$ (xy + 5y) - (xy - y^2) = 13 - 7 $$ $$ xy + 5y - xy + y^2 = 6 $$ $$ y^2 + 5y - 6 = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Его корнями являются значения $y_1$ и $y_2$ из пар решений $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$. Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна $y_1 + y_2 = -5$.

Теперь выразим произведение $xy$ из второго уравнения исходной системы: $$ xy = 13 - 5y $$ Это соотношение справедливо для обоих решений системы, следовательно: $$ x_1y_1 = 13 - 5y_1 $$ $$ x_2y_2 = 13 - 5y_2 $$

Подставим эти выражения в искомое выражение $x_1y_1 + x_2y_2$: $$ x_1y_1 + x_2y_2 = (13 - 5y_1) + (13 - 5y_2) $$ $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 13 + 13 - 5y_1 - 5y_2 $$ $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 26 - 5(y_1 + y_2) $$

Мы уже определили, что сумма $y_1 + y_2 = -5$. Подставим это значение в полученное выражение: $$ x_1y_1 + x_2y_2 = 26 - 5(-5) = 26 + 25 = 51 $$

Ответ: 51