Номер 223, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

223 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases}5x + 2y = 26, \\4x - 3y = 7;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2x + 3y = 16, \\3x - 7y = 1;\end{cases}$

В) $\begin{cases}8x - 3y = 1, \\-6x + 5y = 2;\end{cases}$

Г) $\begin{cases}4x - 5y = -2, \\3x + 2y = -13.\end{cases}$

а)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 5x + 2y = 26 \\ 4x - 3y = 7 \end{cases} $
Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} (5x + 2y) \cdot 3 = 26 \cdot 3 \\ (4x - 3y) \cdot 2 = 7 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x + 6y = 78 \\ 8x - 6y = 14 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:
$ (15x + 6y) + (8x - 6y) = 78 + 14 $
$ 23x = 92 $
$ x = \frac{92}{23} $
$ x = 4 $
Подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$ 5(4) + 2y = 26 $
$ 20 + 2y = 26 $
$ 2y = 26 - 20 $
$ 2y = 6 $
$ y = \frac{6}{2} $
$ y = 3 $
Выполним проверку, подставив найденные значения во второе уравнение: $4(4) - 3(3) = 16 - 9 = 7$. Равенство верное.
Ответ: $x = 4, y = 3$.

б)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ 3x - 7y = 1 \end{cases} $
Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} (2x + 3y) \cdot 3 = 16 \cdot 3 \\ (3x - 7y) \cdot (-2) = 1 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 9y = 48 \\ -6x + 14y = -2 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:
$ (6x + 9y) + (-6x + 14y) = 48 - 2 $
$ 23y = 46 $
$ y = \frac{46}{23} $
$ y = 2 $
Подставим найденное значение $y = 2$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$ 2x + 3(2) = 16 $
$ 2x + 6 = 16 $
$ 2x = 16 - 6 $
$ 2x = 10 $
$ x = \frac{10}{2} $
$ x = 5 $
Выполним проверку, подставив найденные значения во второе уравнение: $3(5) - 7(2) = 15 - 14 = 1$. Равенство верное.
Ответ: $x = 5, y = 2$.

в)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 8x - 3y = 1 \\ -6x + 5y = 2 \end{cases} $
Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} (8x - 3y) \cdot 3 = 1 \cdot 3 \\ (-6x + 5y) \cdot 4 = 2 \cdot 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 24x - 9y = 3 \\ -24x + 20y = 8 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:
$ (24x - 9y) + (-24x + 20y) = 3 + 8 $
$ 11y = 11 $
$ y = 1 $
Подставим найденное значение $y = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$ 8x - 3(1) = 1 $
$ 8x - 3 = 1 $
$ 8x = 1 + 3 $
$ 8x = 4 $
$ x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
Выполним проверку, подставив найденные значения во второе уравнение: $-6(\frac{1}{2}) + 5(1) = -3 + 5 = 2$. Равенство верное.
Ответ: $x = \frac{1}{2}, y = 1$.

г)Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 4x - 5y = -2 \\ 3x + 2y = -13 \end{cases} $
Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:
$ \begin{cases} (4x - 5y) \cdot 2 = -2 \cdot 2 \\ (3x + 2y) \cdot 5 = -13 \cdot 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x - 10y = -4 \\ 15x + 10y = -65 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:
$ (8x - 10y) + (15x + 10y) = -4 - 65 $
$ 23x = -69 $
$ x = \frac{-69}{23} $
$ x = -3 $
Подставим найденное значение $x = -3$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$ 3(-3) + 2y = -13 $
$ -9 + 2y = -13 $
$ 2y = -13 + 9 $
$ 2y = -4 $
$ y = \frac{-4}{2} $
$ y = -2 $
Выполним проверку, подставив найденные значения в первое уравнение: $4(-3) - 5(-2) = -12 + 10 = -2$. Равенство верное.
Ответ: $x = -3, y = -2$.