Номер 216, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

216 Решите уравнение:

a) $ \frac{x-5}{x-3} + \frac{4}{x+3} + \frac{24}{x^2-9} = 0; $

б) $ \frac{1}{x-2} + \frac{4}{x^2-4} = \frac{x+1}{x+2}. $

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x-5}{x-3} + \frac{4}{x+3} + \frac{24}{x^2-9} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$ x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $
$ x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $
$ x^2-9 = (x-3)(x+3) \neq 0 $, что включает в себя два предыдущих условия.
Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $:

$ \frac{(x-5)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{4(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{24}{(x-3)(x+3)} = 0 $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-3)(x+3) $, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ), и решим уравнение для числителя:

$ (x-5)(x+3) + 4(x-3) + 24 = 0 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ x^2 + 3x - 5x - 15 + 4x - 12 + 24 = 0 $

$ x^2 + (3-5+4)x + (-15-12+24) = 0 $

$ x^2 + 2x - 3 = 0 $

Получили квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -3, а сумма -2. Корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -3 $.
Либо найдем корни через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} $
$ x_1 = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
$ x_2 = \frac{-2-4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 3, x \neq -3 $).
Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $ x = -3 $ является посторонним корнем.

Ответ: 1

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-2} + \frac{4}{x^2-4} = \frac{x+1}{x+2} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $
$ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $
$ x^2-4 = (x-2)(x+2) \neq 0 $
ОДЗ: $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $:

$ \frac{1}{x-2} + \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+1}{x+2} = 0 $

$ \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = 0 $

Запишем уравнение для числителя:

$ (x+2) + 4 - (x+1)(x-2) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ x + 6 - (x^2 - 2x + x - 2) = 0 $

$ x + 6 - (x^2 - x - 2) = 0 $

$ x + 6 - x^2 + x + 2 = 0 $

$ -x^2 + 2x + 8 = 0 $

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $ x^2 $ был положительным:

$ x^2 - 2x - 8 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно -8, сумма равна 2. Корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $.
Либо через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} $
$ x_1 = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4 $
$ x_2 = \frac{2-6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 2, x \neq -2 $).
Корень $ x_1 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -2 $ не удовлетворяет ОДЗ. Это посторонний корень.

Ответ: 4