Номер 210, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

210 Решите уравнение:

а) $\sqrt{5x - 3} = 2;$

б) $\sqrt{x^2 - 24} = 5;$

в) $\sqrt{4 - 3x} = 5;$

г) $\sqrt{x^2 - 20} = 4.$

а) $\sqrt{5x - 3} = 2$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо возвести обе части в квадрат. Это действие является равносильным преобразованием, так как правая часть уравнения ($2$) — неотрицательное число. Однако необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным.

1. Определим ОДЗ:
$5x - 3 \ge 0$
$5x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{5}$

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5x - 3})^2 = 2^2$
$5x - 3 = 4$

3. Решим полученное линейное уравнение:
$5x = 4 + 3$
$5x = 7$
$x = \frac{7}{5}$ или $x = 1.4$

4. Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ:
$1.4 \ge \frac{3}{5}$ (т.е. $1.4 \ge 0.6$). Неравенство верное, значит, корень является решением уравнения.

Ответ: $1.4$

б) $\sqrt{x^2 - 24} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($5$) неотрицательна. Предварительно найдем ОДЗ.

1. Определим ОДЗ:
$x^2 - 24 \ge 0$
$x^2 \ge 24$
Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; -\sqrt{24}] \cup [\sqrt{24}; +\infty)$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x^2 - 24})^2 = 5^2$
$x^2 - 24 = 25$

3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 25 + 24$
$x^2 = 49$
$x = \pm\sqrt{49}$
$x_1 = 7$, $x_2 = -7$

4. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ:
$\sqrt{24} \approx 4.9$.
Корень $x_1=7$ удовлетворяет условию $7 \ge \sqrt{24}$, так как $49 > 24$.
Корень $x_2=-7$ удовлетворяет условию $-7 \le -\sqrt{24}$, так как $49 > 24$.
Оба корня подходят.

Ответ: $-7; 7$

в) $\sqrt{4 - 3x} = 5$

Решаем по аналогии с предыдущими примерами.

1. Определим ОДЗ:
$4 - 3x \ge 0$
$4 \ge 3x$
$\frac{4}{3} \ge x$ или $x \le \frac{4}{3}$

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4 - 3x})^2 = 5^2$
$4 - 3x = 25$

3. Решим полученное линейное уравнение:
$-3x = 25 - 4$
$-3x = 21$
$x = \frac{21}{-3}$
$x = -7$

4. Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ:
$-7 \le \frac{4}{3}$. Неравенство верное, корень подходит.

Ответ: $-7$

г) $\sqrt{x^2 - 20} = 4$

Решаем по тому же алгоритму.

1. Определим ОДЗ:
$x^2 - 20 \ge 0$
$x^2 \ge 20$
Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; -\sqrt{20}] \cup [\sqrt{20}; +\infty)$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x^2 - 20})^2 = 4^2$
$x^2 - 20 = 16$

3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 16 + 20$
$x^2 = 36$
$x = \pm\sqrt{36}$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

4. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ:
$\sqrt{20} \approx 4.47$.
Корень $x_1=6$ удовлетворяет условию $6 \ge \sqrt{20}$, так как $36 > 20$.
Корень $x_2=-6$ удовлетворяет условию $-6 \le -\sqrt{20}$, так как $36 > 20$.
Оба корня подходят.

Ответ: $-6; 6$