Номер 215, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

215 Решите уравнение

а) $ \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 2x - 3} = 0; $

б) $ \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} = 0. $

a) $\frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 2x - 3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 5x - 6 = 0 \\ x^2 + 2x - 3 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы: $x^2 + 5x - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, корни числителя: $x = -6$ и $x = 1$.

2. Теперь найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль (область допустимых значений, ОДЗ):

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$x_3 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$

$x_4 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$

Следовательно, знаменатель не должен быть равен нулю при $x \neq -3$ и $x \neq 1$.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ. Корень $x = 1$ не является решением исходного уравнения, так как он обращает знаменатель в ноль (является посторонним корнем). Корень $x = -6$ удовлетворяет условию ОДЗ.

Ответ: $-6$

б) $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x^2 - 4x + 3 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение для числителя: $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = 2$

Подбором находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

2. Найдем недопустимые значения $x$, решив уравнение для знаменателя: $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета:

$x_3 + x_4 = 4$

$x_3 \cdot x_4 = 3$

Подбором находим корни: $x_3 = 1$, $x_4 = 3$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

3. Сопоставим корни числителя ($1$ и $2$) с ОДЗ. Корень $x = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$.

Ответ: $2$