Номер 217, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

217 Решите уравнение:

а) $\frac{3x + 2}{2x} + \frac{2x}{3x + 2} = -2;$

б) $\frac{4x - 3}{6x} + \frac{6x}{4x - 3} = 2.$

а) $ \frac{3x + 2}{2x} + \frac{2x}{3x + 2} = -2 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ 2x \neq 0 \implies x \neq 0 $

$ 3x + 2 \neq 0 \implies 3x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{3} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq -\frac{2}{3} $.

Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{3x + 2}{2x} $. Тогда $ \frac{2x}{3x + 2} = \frac{1}{t} $.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$ t + \frac{1}{t} = -2 $

Умножим обе части уравнения на $ t $ (при условии, что $ t \neq 0 $):

$ t^2 + 1 = -2t $

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:

$ t^2 + 2t + 1 = 0 $

Это полный квадрат суммы:

$ (t + 1)^2 = 0 $

Отсюда находим значение $ t $:

$ t + 1 = 0 \implies t = -1 $

Теперь вернемся к исходной переменной $ x $, выполнив обратную замену:

$ \frac{3x + 2}{2x} = -1 $

Решим это уравнение относительно $ x $:

$ 3x + 2 = -1 \cdot (2x) $

$ 3x + 2 = -2x $

$ 3x + 2x = -2 $

$ 5x = -2 $

$ x = -\frac{2}{5} $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $ -\frac{2}{5} \neq 0 $ и $ -\frac{2}{5} \neq -\frac{2}{3} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{2}{5} $

б) $ \frac{4x - 3}{6x} + \frac{6x}{4x - 3} = 2 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ 6x \neq 0 \implies x \neq 0 $

$ 4x - 3 \neq 0 \implies 4x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{4} $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq \frac{3}{4} $.

В этом уравнении, как и в предыдущем, второе слагаемое является обратным к первому. Введем замену. Пусть $ y = \frac{4x - 3}{6x} $. Тогда $ \frac{6x}{4x - 3} = \frac{1}{y} $.

Уравнение принимает вид:

$ y + \frac{1}{y} = 2 $

Умножим обе части на $ y $ (при $ y \neq 0 $):

$ y^2 + 1 = 2y $

Перенесем все в левую часть:

$ y^2 - 2y + 1 = 0 $

Это полный квадрат разности:

$ (y - 1)^2 = 0 $

Отсюда находим $ y $:

$ y - 1 = 0 \implies y = 1 $

Выполним обратную замену:

$ \frac{4x - 3}{6x} = 1 $

Решим полученное уравнение:

$ 4x - 3 = 6x $

$ 4x - 6x = 3 $

$ -2x = 3 $

$ x = -\frac{3}{2} $

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $ -\frac{3}{2} \neq 0 $ и $ -\frac{3}{2} \neq \frac{3}{4} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{3}{2} $