Номер 222, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

222 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 2x - y = 9, \\ x + 2y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 15x + 4y = -3 \\ 5x + 2y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 7x + 4y = 18, \\ 5x + y = 24; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x - 16y = 7, \\ 3x + 8y = 13. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x - y = 9 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$
Для решения используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = 2x - 9$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x + 2(2x - 9) = 1$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$x + 4x - 18 = 1$
$5x = 19$
$x = \frac{19}{5} = 3.8$
Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 2x - 9$:
$y = 2 \cdot \frac{19}{5} - 9 = \frac{38}{5} - \frac{45}{5} = -\frac{7}{5} = -1.4$
Проверка:
$2(\frac{19}{5}) - (-\frac{7}{5}) = \frac{38}{5} + \frac{7}{5} = \frac{45}{5} = 9$ (верно).
$\frac{19}{5} + 2(-\frac{7}{5}) = \frac{19}{5} - \frac{14}{5} = \frac{5}{5} = 1$ (верно).
Ответ: $(\frac{19}{5}; -\frac{7}{5})$ или $(3.8; -1.4)$.

б) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 15x + 4y = -3 \\ 5x + 2y = 1 \end{cases}$
Используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$(5x + 2y) \cdot (-2) = 1 \cdot (-2)$
$-10x - 4y = -2$
Теперь сложим почленно первое уравнение системы и полученное новое уравнение:
$(15x + 4y) + (-10x - 4y) = -3 + (-2)$
$5x = -5$
$x = -1$
Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$5(-1) + 2y = 1$
$-5 + 2y = 1$
$2y = 6$
$y = 3$
Проверка:
$15(-1) + 4(3) = -15 + 12 = -3$ (верно).
$5(-1) + 2(3) = -5 + 6 = 1$ (верно).
Ответ: $(-1; 3)$.

в) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 7x + 4y = 18 \\ 5x + y = 24 \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из второго уравнения легко выразить $y$:
$y = 24 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$7x + 4(24 - 5x) = 18$
Раскроем скобки:
$7x + 96 - 20x = 18$
Приведем подобные слагаемые:
$-13x = 18 - 96$
$-13x = -78$
$x = \frac{-78}{-13} = 6$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 24 - 5x$:
$y = 24 - 5(6) = 24 - 30 = -6$
Проверка:
$7(6) + 4(-6) = 42 - 24 = 18$ (верно).
$5(6) + (-6) = 30 - 6 = 24$ (верно).
Ответ: $(6; -6)$.

г) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5x - 16y = 7 \\ 3x + 8y = 13 \end{cases}$
Используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $2$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$(3x + 8y) \cdot 2 = 13 \cdot 2$
$6x + 16y = 26$
Сложим почленно первое уравнение системы и полученное новое уравнение:
$(5x - 16y) + (6x + 16y) = 7 + 26$
$11x = 33$
$x = 3$
Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$3(3) + 8y = 13$
$9 + 8y = 13$
$8y = 4$
$y = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Проверка:
$5(3) - 16(\frac{1}{2}) = 15 - 8 = 7$ (верно).
$3(3) + 8(\frac{1}{2}) = 9 + 4 = 13$ (верно).
Ответ: $(3; \frac{1}{2})$.