Номер 229, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

229 Определите, сколько решений имеет система уравнений:

a) $ \begin{cases} x^2 + 4x = y - 2, \\ x + y + 2 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y = 2x + 2, \\ y - 3 = 0. \end{cases} $

а) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + 4x = y - 2 \\x + y + 2 = 0\end{cases}$.
Для определения количества решений, выразим $y$ из второго уравнения и подставим в первое.
Из второго уравнения получаем: $y = -x - 2$.
Подставляем это выражение в первое уравнение:
$x^2 + 4x = (-x - 2) - 2$
$x^2 + 4x = -x - 4$
Приводим полученное квадратное уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 5x + 4 = 0$
Количество решений данного квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=5$, $c=4$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$
Поскольку $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Каждому значению $x$ соответствует одно единственное значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y = 2x + 2 \\y - 3 = 0\end{cases}$.
Из второго уравнения системы сразу находим значение $y$:
$y - 3 = 0 \implies y = 3$
Подставим это значение в первое уравнение:
$x^2 + 3 = 2x + 2$
Приведем полученное квадратное уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 2x + 3 - 2 = 0$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(x-1)^2 = 0$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, чтобы определить количество корней.
Здесь $a=1$, $b=-2$, $c=1$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$
Поскольку $D = 0$, квадратное уравнение имеет один единственный действительный корень. Так как значение $y$ также определено однозначно ($y=3$), система имеет одно решение.
Ответ: 1 решение.