Номер 236, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

236 При каком значении $a$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ |x| - y = a \end{cases}$ имеет три решения?

Для решения задачи используем графический метод. Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков функций, входящих в систему.

Первое уравнение системы, $x^2 + y^2 = 16$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение системы, $|x| - y = a$, можно преобразовать к виду $y = |x| - a$. Этот график представляет собой "галочку" (объединение двух лучей), полученную смещением графика функции $y = |x|$ на $a$ единиц вниз по оси ординат. Вершина этой "галочки" находится в точке $(0, -a)$. При изменении параметра $a$ график $y = |x| - a$ будет перемещаться вертикально.

Нам необходимо найти такое значение параметра $a$, при котором графики окружности и "галочки" будут иметь ровно три общие точки. Рассмотрим различные положения графика $y = |x| - a$ относительно окружности.

Три точки пересечения возможны в случае, когда вершина "галочки" лежит на окружности, а ее ветви пересекают окружность в двух других точках.

Вершина графика $y = |x| - a$ имеет координаты $(0, -a)$. Окружность $x^2 + y^2 = 16$ пересекает ось OY в точках $(0, 4)$ и $(0, -4)$. Следовательно, вершина "галочки" может лежать на окружности в двух случаях.

Случай 1: Вершина "галочки" в точке $(0, 4)$

Координаты вершины $(0, -a)$ должны совпадать с $(0, 4)$, откуда $-a = 4$, то есть $a = -4$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ |x| - y = -4 \end{cases} $$ Из второго уравнения $y = |x| + 4$. Подставим это выражение в первое уравнение: $x^2 + (|x| + 4)^2 = 16$ $x^2 + (|x|^2 + 8|x| + 16) = 16$ Так как $|x|^2 = x^2$, получаем: $2x^2 + 8|x| = 0$ $2|x|(|x| + 4) = 0$ Поскольку $|x| \ge 0$, то $|x| + 4 > 0$. Следовательно, единственное решение этого уравнения — $|x| = 0$, что означает $x = 0$. Если $x = 0$, то $y = |0| + 4 = 4$. Таким образом, при $a = -4$ система имеет только одно решение: $(0, 4)$. Этот случай нам не подходит.

Случай 2: Вершина "галочки" в точке $(0, -4)$

Координаты вершины $(0, -a)$ должны совпадать с $(0, -4)$, откуда $-a = -4$, то есть $a = 4$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ |x| - y = 4 \end{cases} $$ Из второго уравнения $y = |x| - 4$. Подставим это выражение в первое уравнение: $x^2 + (|x| - 4)^2 = 16$ $x^2 + (|x|^2 - 8|x| + 16) = 16$ $2x^2 - 8|x| = 0$ $2|x|(|x| - 4) = 0$ Это уравнение имеет два решения для $|x|$: 1) $|x| = 0 \implies x = 0$. Если $x = 0$, то $y = |0| - 4 = -4$. Получаем первую точку пересечения $(0, -4)$. 2) $|x| - 4 = 0 \implies |x| = 4$. Отсюда $x = 4$ или $x = -4$. Если $x = 4$, то $y = |4| - 4 = 0$. Получаем вторую точку пересечения $(4, 0)$. Если $x = -4$, то $y = |-4| - 4 = 4 - 4 = 0$. Получаем третью точку пересечения $(-4, 0)$.

Таким образом, при $a=4$ система имеет ровно три различных решения: $(0, -4)$, $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

Ответ: $a=4$.