Номер 231, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

231 Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} x^2 y^2 - 6xy = -5, \\ 3x + 3y = 10; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} 2x^2 y^2 - 5xy = -2, \\ x - y = -1. \end{cases} $

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2y^2 - 6xy = -5, \\ 3x + 3y = 10; \end{cases}$

Это нелинейная система. Введем замену переменной в первом уравнении. Пусть $t = xy$. Тогда первое уравнение примет вид:

$t^2 - 6t = -5$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $xy = 1$.

Из второго уравнения исходной системы $3x + 3y = 10$ выразим сумму $x+y$:
$3(x+y) = 10 \implies x+y = \frac{10}{3}$.

Получаем систему:
$\begin{cases} x+y = \frac{10}{3}, \\ xy = 1. \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (x+y)z + xy = 0$. Подставим наши значения:

$z^2 - \frac{10}{3}z + 1 = 0$

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3z^2 - 10z + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения: $z = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$z_1 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$z_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Таким образом, получаем две пары решений: $(3; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; 3)$.

Случай 2: $xy = 5$.

Сумма переменных остается той же: $x+y = \frac{10}{3}$.

Получаем систему:
$\begin{cases} x+y = \frac{10}{3}, \\ xy = 5. \end{cases}$

Составим квадратное уравнение для $z$, корнями которого будут $x$ и $y$:

$z^2 - \frac{10}{3}z + 5 = 0$

Умножим на 3:

$3z^2 - 10z + 15 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 100 - 180 = -80$.

Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет, а значит, в этом случае система не имеет действительных решений.

Ответ: $(3; \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}; 3)$.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2y^2 - 5xy = -2, \\ x - y = -1. \end{cases}$

Сделаем замену переменной в первом уравнении. Пусть $t = xy$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - 5t = -2$

Перенесем все в левую часть:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $xy = 2$.

Из второго уравнения исходной системы $x - y = -1$ выразим $x$: $x = y - 1$.

Подставим это выражение в $xy = 2$:

$(y-1)y = 2$

$y^2 - y - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 - 1 = 1$. Получаем решение $(1; 2)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 - 1 = -2$. Получаем решение $(-2; -1)$.

Случай 2: $xy = \frac{1}{2}$.

Используем то же выражение $x = y - 1$ и подставляем его в $xy = \frac{1}{2}$:

$(y-1)y = \frac{1}{2}$

$y^2 - y - \frac{1}{2} = 0$

Умножим уравнение на 2:

$2y^2 - 2y - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $y = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

$y_3 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ и $y_4 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, то $x_3 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{1 + \sqrt{3} - 2}{2} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$.

Получаем решение $(\frac{\sqrt{3}-1}{2}; \frac{\sqrt{3}+1}{2})$.

Если $y_4 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$, то $x_4 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{1 - \sqrt{3} - 2}{2} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$.

Получаем решение $(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $(1; 2), (-2; -1), (\frac{\sqrt{3}-1}{2}; \frac{\sqrt{3}+1}{2}), (\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2})$.