Номер 230, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

230 Определите, сколько решений имеет система уравнений:

a) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ xy + 4 = 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x^2 - y = -5. \end{cases}$$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ xy + 4 = 0 \end{cases} $$

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $xy + 4 = 0$ можно переписать в виде $y = -\frac{4}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Чтобы найти количество решений системы, нужно определить количество точек пересечения графиков этих двух функций. Для этого решим систему алгебраически. Выразим $y$ из второго уравнения и подставим в первое:

$y = -\frac{4}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$)

Подставляем в первое уравнение:

$x^2 + \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = 16$

$x^2 + \frac{16}{x^2} = 16$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (так как $x \neq 0$):

$x^4 + 16 = 16x^2$

$x^4 - 16x^2 + 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x$ — действительное число, то $t \ge 0$.

$t^2 - 16t + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 256 - 64 = 192$

Поскольку $D = 192 > 0$, уравнение имеет два различных корня.

$t_1 = \frac{16 + \sqrt{192}}{2} = \frac{16 + 8\sqrt{3}}{2} = 8 + 4\sqrt{3}$

$t_2 = \frac{16 - \sqrt{192}}{2} = \frac{16 - 8\sqrt{3}}{2} = 8 - 4\sqrt{3}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $t > 0$.

$t_1 = 8 + 4\sqrt{3} > 0$.

Для $t_2 = 8 - 4\sqrt{3}$ сравним $8$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $8^2 = 64$ и $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $64 > 48$, то $8 > 4\sqrt{3}$, следовательно $t_2 = 8 - 4\sqrt{3} > 0$.

Оба корня для $t$ положительны. Вернемся к замене $x^2 = t$.

Уравнение $x^2 = t_1 = 8 + 4\sqrt{3}$ имеет два различных действительных корня для $x$: $x_{1,2} = \pm\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$.

Уравнение $x^2 = t_2 = 8 - 4\sqrt{3}$ также имеет два различных действительных корня для $x$: $x_{3,4} = \pm\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$.

Таким образом, мы получили четыре различных значения для $x$. Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y = -4/x$. Следовательно, система имеет четыре различных решения.

Ответ: 4 решения.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y = -5 \end{cases} $$

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $x^2 - y = -5$ можно переписать в виде $y = x^2 + 5$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, 5).

Чтобы найти количество решений, решим систему методом подстановки. Выразим $x^2$ из второго уравнения:

$x^2 = y - 5$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, должно выполняться условие $y - 5 \ge 0$, то есть $y \ge 5$.

Подставим выражение для $x^2$ в первое уравнение:

$(y - 5) + y^2 = 25$

$y^2 + y - 5 - 25 = 0$

$y^2 + y - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни уравнения:

$y_1 + y_2 = -1$

$y_1 \cdot y_2 = -30$

Отсюда находим корни $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $y \ge 5$.

Корень $y_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 5$).

Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию ($-6 < 5$).

Следовательно, единственное возможное значение для $y$ — это $y=5$. Найдем соответствующее значение $x$:

$x^2 = y - 5 = 5 - 5 = 0$

$x^2 = 0 \implies x = 0$

Таким образом, система имеет единственное решение $(0, 5)$. Это соответствует тому, что парабола $y = x^2+5$ касается окружности $x^2+y^2=25$ в своей вершине.

Ответ: 1 решение.