Номер 226, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Уравнения и системы уравнений. Модуль «Алгебра». Итоговое повторение. ч. 2 - номер 226, страница 185.

226 а) Найдите значение выражения $|x_1 - y_1| + \frac{1}{|x_2 - y_2|}$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений

$\begin{cases} xy = 63, \\ x + y = 16; \end{cases}$

б) найдите значение выражения $|x_1 - x_2| + \frac{2}{|y_1 - y_2|}$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений

$\begin{cases} xy = -91, \\ x + y = -6. \end{cases}$

а) Для нахождения значения выражения нам необходимо найти решения $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ системы уравнений: $ \begin{cases} xy = 63, \\ x + y = 16. \end{cases} $ Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив значения из системы, получим уравнение: $t^2 - 16t + 63 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{16 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14}{2} = 7$ и $t_2 = \frac{16 + \sqrt{4}}{2} = \frac{18}{2} = 9$. Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(7; 9)$ и $(9; 7)$.

Пусть $(x_1; y_1) = (7; 9)$ и $(x_2; y_2) = (9; 7)$. Теперь подставим эти значения в искомое выражение: $|x_1 - y_1| + \frac{1}{|x_2 - y_2|} = |7 - 9| + \frac{1}{|9 - 7|} = |-2| + \frac{1}{|2|} = 2 + \frac{1}{2} = 2,5$. Если бы мы выбрали $(x_1; y_1) = (9; 7)$ и $(x_2; y_2) = (7; 9)$, результат был бы таким же: $|9 - 7| + \frac{1}{|7 - 9|} = 2 + \frac{1}{2} = 2,5$.

Ответ: $2,5$.

б) Аналогично найдем решения системы уравнений: $ \begin{cases} xy = -91, \\ x + y = -6. \end{cases} $ Составим и решим соответствующее квадратное уравнение $t^2 - (-6)t + (-91) = 0$, то есть $t^2 + 6t - 91 = 0$.

Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-91) = 36 + 364 = 400$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{-6 - \sqrt{400}}{2} = \frac{-6 - 20}{2} = -13$ и $t_2 = \frac{-6 + \sqrt{400}}{2} = \frac{-6 + 20}{2} = 7$. Следовательно, решениями системы являются пары $(-13; 7)$ и $(7; -13)$.

Пусть $(x_1; y_1) = (-13; 7)$ и $(x_2; y_2) = (7; -13)$. Подставим эти значения в выражение $|x_1 - x_2| + \frac{2}{|y_1 - y_2|}$: $|x_1 - x_2| = |-13 - 7| = |-20| = 20$. $|y_1 - y_2| = |7 - (-13)| = |7 + 13| = |20| = 20$. Значение выражения равно $20 + \frac{2}{20} = 20 + \frac{1}{10} = 20,1$.

Ответ: $20,1$.