Номер 232, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

232 а) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{4y}{x} = 3, \\ x - 3y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{5y}{x} = -6, \\ 2x + 7y = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{4y}{x} = 3 \\ x - 3y = 1 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется условиями $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

В первом уравнении введем новую переменную. Пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x}$ будет равно $\frac{1}{t}$. Первое уравнение можно переписать в виде:

$t - 4 \cdot \frac{1}{t} = 3$

Умножим обе части этого уравнения на $t$, предполагая, что $t \neq 0$ (что следует из ОДЗ, так как $x \neq 0$):

$t^2 - 4 = 3t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$ и рассмотреть два случая.

Случай 1: $t = 4$.

Это означает, что $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение исходной системы $x - 3y = 1$:

$4y - 3y = 1$

$y = 1$

Зная $y$, найдем соответствующий $x$:

$x = 4y = 4 \cdot 1 = 4$

Таким образом, первая пара решений — $(4, 1)$. Эта пара удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $t = -1$.

Это означает, что $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы $x - 3y = 1$:

$-y - 3y = 1$

$-4y = 1$

$y = -\frac{1}{4}$

Зная $y$, найдем соответствующий $x$:

$x = -y = -(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$

Таким образом, вторая пара решений — $(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$. Эта пара также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(4, 1), (\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{5y}{x} = -6 \\ 2x + 7y = 6 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Аналогично предыдущему пункту, введем замену $t = \frac{x}{y}$ в первом уравнении. Уравнение примет вид:

$t + \frac{5}{t} = -6$

Умножим обе части уравнения на $t$ (где $t \neq 0$):

$t^2 + 5 = -6t$

Приведем к стандартному виду:

$t^2 + 6t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно 5. Корни уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = -5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t = -1$.

$\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x + 7y = 6$:

$2(-y) + 7y = 6$

$-2y + 7y = 6$

$5y = 6$

$y = \frac{6}{5}$

Найдем $x$:

$x = -y = -\frac{6}{5}$

Первая пара решений: $(-\frac{6}{5}, \frac{6}{5})$.

Случай 2: $t = -5$.

$\frac{x}{y} = -5$, откуда $x = -5y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x + 7y = 6$:

$2(-5y) + 7y = 6$

$-10y + 7y = 6$

$-3y = 6$

$y = -2$

Найдем $x$:

$x = -5y = -5(-2) = 10$

Вторая пара решений: $(10, -2)$.

Обе пары решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(-\frac{6}{5}, \frac{6}{5}), (10, -2)$.