Номер 235, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

235 Найдите целое значение $a$, при котором $ax + y = 6$, если пара чисел $(x; y)$ является решением системы уравнений

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 32, \\ 2x - y = 11. \end{cases}$

Для того чтобы найти целое значение параметра $a$, необходимо сначала решить систему уравнений, чтобы определить значения $x$ и $y$.

Дана система уравнений:$$\begin{cases} x^2 - y^2 = 32, \\ 2x - y = 11.\end{cases}$$

Из второго уравнения системы выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 2x - 11$.

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 - (2x - 11)^2 = 32$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - (4x^2 - 44x + 121) = 32$
$x^2 - 4x^2 + 44x - 121 = 32$
$-3x^2 + 44x - 121 - 32 = 0$
$-3x^2 + 44x - 153 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на $-1$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$3x^2 - 44x + 153 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 153 = 1936 - 1836 = 100$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Найдем корни уравнения для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-44) + 10}{2 \cdot 3} = \frac{44 + 10}{6} = \frac{54}{6} = 9$.
$x_2 = \frac{-(-44) - 10}{2 \cdot 3} = \frac{44 - 10}{6} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя формулу $y = 2x - 11$.

1. Если $x_1 = 9$, то $y_1 = 2 \cdot 9 - 11 = 18 - 11 = 7$.
Первая пара чисел, являющаяся решением системы, — $(9; 7)$.

2. Если $x_2 = \frac{17}{3}$, то $y_2 = 2 \cdot \frac{17}{3} - 11 = \frac{34}{3} - \frac{33}{3} = \frac{1}{3}$.
Вторая пара чисел, являющаяся решением системы, — $(\frac{17}{3}; \frac{1}{3})$.

По условию задачи, найденная пара $(x; y)$ также удовлетворяет уравнению $ax + y = 6$. Проверим обе пары, чтобы найти, при какой из них $a$ будет целым числом.

Подставим первую пару $(9; 7)$ в уравнение $ax + y = 6$:
$a \cdot 9 + 7 = 6$
$9a = -1$
$a = -\frac{1}{9}$.
Это значение не является целым.

Подставим вторую пару $(\frac{17}{3}; \frac{1}{3})$ в уравнение $ax + y = 6$:
$a \cdot \frac{17}{3} + \frac{1}{3} = 6$
$a \cdot \frac{17}{3} = 6 - \frac{1}{3}$
$a \cdot \frac{17}{3} = \frac{18}{3} - \frac{1}{3}$
$a \cdot \frac{17}{3} = \frac{17}{3}$
$a = 1$.
Это значение является целым числом.

Следовательно, искомое целое значение $a$ равно 1.

Ответ: $1$