Номер 237, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Итоговое повторение. Модуль «Алгебра». Уравнения и системы уравнений - номер 237, страница 186.

Условие.

237 При каком значении $a$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ |x| + y = a \end{cases}$ имеет одно решение?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Данная система уравнений состоит из двух уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ |x| + y = a \end{cases} $$

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, является уравнением окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение, $|x| + y = a$, можно представить в виде $y = a - |x|$. График этой зависимости состоит из двух лучей, образующих "галочку" с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, a)$.

Решить систему — значит найти все пары $(x, y)$, удовлетворяющие обоим уравнениям. Геометрически это соответствует нахождению всех точек пересечения окружности и графика "галочки". Нам нужно найти такое значение параметра $a$, при котором существует ровно одна точка пересечения.

Для решения задачи применим аналитический метод. Выразим $y$ из второго уравнения и подставим в первое:

$$ y = a - |x| $$

$$ x^2 + (a - |x|)^2 = 9 $$

Воспользуемся тем фактом, что $x^2 = |x|^2$. Это позволяет переписать уравнение в виде:

$$ |x|^2 + (a - |x|)^2 = 9 $$

Введем новую переменную $t = |x|$. Так как модуль любого числа не может быть отрицательным, на новую переменную накладывается ограничение $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$$ t^2 + (a - t)^2 = 9 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $t$:

$$ t^2 + a^2 - 2at + t^2 = 9 $$

$$ 2t^2 - 2at + (a^2 - 9) = 0 $$

Теперь необходимо проанализировать, как количество решений исходной системы $(x, y)$ связано с количеством неотрицательных корней $t$ этого квадратного уравнения.

• Если $t > 0$ является корнем, то из уравнения $|x| = t$ следуют два различных значения для $x$: $x_1 = t$ и $x_2 = -t$. Каждое из них дает одно значение $y=a-t$. Таким образом, один положительный корень $t$ порождает два решения $(x, y)$ для исходной системы.
• Если $t = 0$ является корнем, то из $|x| = 0$ следует единственное значение $x = 0$. Это порождает одно решение $(x, y)$ для исходной системы, а именно $(0, a)$.

Для того чтобы исходная система имела ровно одно решение, необходимо, чтобы квадратное уравнение $2t^2 - 2at + (a^2 - 9) = 0$ имело ровно один неотрицательный корень, и этим корнем должен быть $t=0$.

Это означает, что один корень уравнения должен быть $t_1 = 0$, а второй корень $t_2$ должен быть отрицательным ($t_2 < 0$).

Если $t=0$ является корнем, то при его подстановке в уравнение должно получиться верное равенство:

$$ 2(0)^2 - 2a(0) + (a^2 - 9) = 0 $$

$$ a^2 - 9 = 0 $$

Отсюда получаем два возможных значения для параметра: $a = 3$ и $a = -3$.

Проверим каждое из этих значений.

1. При $a = 3$:

Уравнение для $t$ принимает вид:

$$ 2t^2 - 2(3)t + (3^2 - 9) = 0 $$

$$ 2t^2 - 6t = 0 $$

$$ 2t(t - 3) = 0 $$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$. Оба корня неотрицательны. Корень $t_1=0$ дает одно решение для системы, а корень $t_2=3$ дает два решения. В сумме получаем три решения. Этот случай не удовлетворяет условию задачи.

2. При $a = -3$:

Уравнение для $t$ принимает вид:

$$ 2t^2 - 2(-3)t + ((-3)^2 - 9) = 0 $$

$$ 2t^2 + 6t = 0 $$

$$ 2t(t + 3) = 0 $$

Корни этого уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -3$. Так как $t = |x|$ не может быть отрицательным, корень $t_2 = -3$ является посторонним. Таким образом, у нас есть единственный неотрицательный корень $t=0$.

Этот корень дает единственное решение для $x$: $|x|=0 \Rightarrow x=0$. Соответствующее значение $y$ равно $y = a - |x| = -3 - 0 = -3$.

Следовательно, при $a=-3$ система имеет ровно одно решение $(0, -3)$.

Ответ: $a = -3$.