Номер 243, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

243 На координатной прямой изображено число $a$.

Какие из указанных неравенств являются верными?

1) $a^2 > 1$;

2) $-\frac{1}{a} > 0$;

3) $-\frac{1}{a} > 1$;

4) $a - 1 > 0$.

Проанализируем расположение числа a на координатной прямой. Число a находится левее нуля, но правее -1 (поскольку расстояние от a до 0 меньше, чем стандартный единичный отрезок от 0 до 1). Следовательно, мы можем записать для a двойное неравенство: $$-1 < a < 0$$. Это означает, что a — отрицательное число, модуль которого меньше 1.

Для наглядности и проверки наших рассуждений можно выбрать конкретное значение a из этого интервала, например, $$a = -0.5$$. Теперь последовательно проверим каждое из предложенных неравенств.

1) $a^2 > 1$

Поскольку $$-1 < a < 0$$, модуль числа a меньше 1 ($$|a| < 1$$). При возведении в квадрат числа, модуль которого меньше 1, результат также будет меньше 1. Кроме того, квадрат любого ненулевого числа положителен. Таким образом, $$0 < a^2 < 1$$. Неравенство $$a^2 > 1$$ утверждает, что квадрат a больше 1, что противоречит нашему выводу. Пример: если $$a = -0.5$$, то $$a^2 = (-0.5)^2 = 0.25$$. Неравенство $$0.25 > 1$$ является ложным. Значит, данное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

2) $-\frac{1}{a} > 0$

Так как a — отрицательное число ($$a < 0$$), то обратное ему число $$\frac{1}{a}$$ также будет отрицательным. Выражение $$-\frac{1}{a}$$ является противоположным к отрицательному числу $$\frac{1}{a}$$, а значит, оно положительно. Любое положительное число больше нуля. Пример: если $$a = -0.5$$, то $$-\frac{1}{a} = -\frac{1}{-0.5} = -(-2) = 2$$. Неравенство $$2 > 0$$ является истинным. Значит, данное неравенство верно.

Ответ: верно.

3) $-\frac{1}{a} > 1$

Как мы установили в предыдущем пункте, $$-\frac{1}{a}$$ — положительное число. Теперь сравним его с 1. Начнем с условия $$-1 < a < 0$$. Поделим все части неравенства на a. Так как a — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные: $$\frac{-1}{a} > \frac{a}{a} > \frac{0}{a}$$ $$-\frac{1}{a} > 1 > 0$$ Из этого следует, что $$-\frac{1}{a} > 1$$. Пример: если $$a = -0.5$$, то $$-\frac{1}{a} = 2$$. Неравенство $$2 > 1$$ является истинным. Значит, данное неравенство верно.

Ответ: верно.

4) $a - 1 > 0$

Известно, что a — отрицательное число ($$a < 0$$). Если из отрицательного числа вычесть положительное число (1), результат будет отрицательным и даже меньшим, чем исходное число a. Формально: прибавим -1 к обеим частям неравенства $$a < 0$$: $$a - 1 < 0 - 1$$ $$a - 1 < -1$$ Число, которое меньше -1, не может быть больше 0. Пример: если $$a = -0.5$$, то $$a - 1 = -0.5 - 1 = -1.5$$. Неравенство $$-1.5 > 0$$ является ложным. Значит, данное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

Таким образом, верными являются неравенства под номерами 2 и 3.