Номер 250, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

250 Решите неравенство $ \frac{15 + 3x}{20} \le \frac{7x - 9}{32} $.

1) $x \le -15$;

2) $x \ge -15$;

3) $x \ge 15$;

4) $x \le 15$.

Решение:

Дано исходное неравенство:

$ \frac{15 + 3x}{20} \le \frac{7x - 9}{32} $

Чтобы упростить неравенство, избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) чисел 20 и 32.

Найдем НОК(20, 32):

Разложим числа на простые множители:

$ 20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 $

$ 32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2^5 $

НОК(20, 32) равно произведению всех простых множителей в их наивысших степенях: $ 2^5 \cdot 5 = 32 \cdot 5 = 160 $.

Умножим обе части неравенства на 160. Поскольку 160 > 0, знак неравенства не меняется:

$ 160 \cdot \frac{15 + 3x}{20} \le 160 \cdot \frac{7x - 9}{32} $

Сократим дроби:

$ \frac{160}{20} \cdot (15 + 3x) \le \frac{160}{32} \cdot (7x - 9) $

$ 8 \cdot (15 + 3x) \le 5 \cdot (7x - 9) $

Раскроем скобки:

$ 8 \cdot 15 + 8 \cdot 3x \le 5 \cdot 7x - 5 \cdot 9 $

$ 120 + 24x \le 35x - 45 $

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую часть, меняя их знаки на противоположные:

$ 120 + 45 \le 35x - 24x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 165 \le 11x $

Разделим обе части на 11. Так как 11 > 0, знак неравенства остается прежним:

$ \frac{165}{11} \le x $

$ 15 \le x $

Это неравенство эквивалентно записи $ x \ge 15 $. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту 3.

Ответ: $x \ge 15$.