Номер 252, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

252 a) На рисунке 109 изображена парабола $y = -x^2 - 5x - 4$. При каких значениях $x$ верно неравенство $-x^2 - 5x - 4 \ge 0$?

б) на рисунке 110 изображена парабола $y = -x^2 - 8x - 12$. При каких значениях $x$ верно неравенство $-x^2 - 8x - 12 < 0$?

Рис. 109

Рис. 110

а)

Нам нужно решить неравенство $-x^2 - 5x - 4 \geq 0$, используя график функции $y = -x^2 - 5x - 4$, изображенный на рисунке 109. Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график параболы находится на оси абсцисс или выше нее (то есть, где $y \geq 0$).

На графике видно, что ветви параболы направлены вниз, а сама парабола находится выше или на оси $Ox$ на промежутке между точками пересечения с этой осью. Найдем эти точки пересечения (корни), решив уравнение: $-x^2 - 5x - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1: $x^2 + 5x + 4 = 0$

Используем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$ $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -4$ и $x = -1$. Это совпадает с графиком на рисунке 109. Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции неотрицательны на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [-4; -1]$.

б)

Нам нужно решить неравенство $-x^2 - 8x - 12 < 0$, используя график функции $y = -x^2 - 8x - 12$, изображенный на рисунке 110. Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график параболы находится строго ниже оси абсцисс (то есть, где $y < 0$).

На графике видно, что ветви параболы направлены вниз. Значения функции будут отрицательными на промежутках левее и правее точек пересечения с осью $Ox$. Найдем эти точки пересечения, решив уравнение: $-x^2 - 8x - 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1: $x^2 + 8x + 12 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -8$ $x_1 \cdot x_2 = 12$ Отсюда корни уравнения: $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -6$ и $x = -2$, что совпадает с графиком на рисунке 110. Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции отрицательны ($y < 0$) при $x < -6$ и при $x > -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-2; +\infty)$.