Номер 256, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

256 Укажите геометрическую модель решения неравенства $-2x^2 + 9x - 7 < 0.$

1) Числовая прямая с выколотыми точками 1 и 3,5. Заштрихован интервал между 1 и 3,5. Ось x.

2) Числовая прямая с выколотыми точками 2 и 7. Заштрихован интервал между 2 и 7. Ось x.

3) Числовая прямая с выколотыми точками 2 и 7. Заштрихованы интервалы левее 2 и правее 7. Ось x.

4) Числовая прямая с выколотыми точками 1 и 3,5. Заштрихованы интервалы левее 1 и правее 3,5. Ось x.

Для решения квадратного неравенства $-2x^2 + 9x - 7 < 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-2x^2 + 9x - 7 = 0$.

1. Нахождение корней квадратного уравнения

Решим уравнение $-2x^2 + 9x - 7 = 0$. Для удобства умножим обе части уравнения на $-1$:

$2x^2 - 9x + 7 = 0$

Теперь найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-9$, $c=7$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = 3,5$

Корни уравнения равны 1 и 3,5.

2. Определение знаков квадратного трехчлена

Рассмотрим функцию $y = -2x^2 + 9x - 7$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -2$ отрицателен. Парабола пересекает ось абсцисс (ось $x$) в точках $x = 1$ и $x = 3,5$.

Нас интересует, где значения функции меньше нуля, то есть $-2x^2 + 9x - 7 < 0$. Это происходит на тех участках, где график параболы расположен ниже оси $x$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, она принимает отрицательные значения за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решением неравенства являются промежутки $x < 1$ и $x > 3,5$. В виде объединения интервалов это записывается как $x \in (-\infty; 1) \cup (3,5; \infty)$.

3. Выбор геометрической модели

Теперь сравним полученное решение с предложенными вариантами:

• В вариантах 1 и 4 отмечены точки 1 и 3,5.
• В вариантах 2 и 3 отмечены точки 2 и 7, что не соответствует корням нашего уравнения.

Рассмотрим варианты 1 и 4:

• Вариант 1 представляет интервал $(1; 3,5)$, что является решением неравенства $-2x^2 + 9x - 7 > 0$.
• Вариант 4 представляет объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (3,5; \infty)$, что полностью соответствует нашему решению. Точки 1 и 3,5 выколоты (показаны пустыми кружками), так как неравенство строгое (<, а не $\le$).

Следовательно, правильная геометрическая модель представлена на рисунке 4.

Ответ: 4