Номер 262, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

262 Укажите геометрическую модель решения неравенства $x^2 \ge 196$.

1) Числовая прямая с закрашенной точкой на 14 и штриховкой вправо от нее. Ось обозначена $x$.

2) Числовая прямая с закрашенными точками на -14 и 14 и штриховкой между ними. Ось обозначена $x$.

3) Числовая прямая с закрашенными точками на -14 и 14 и штриховкой влево от -14 и вправо от 14. Ось обозначена $x$.

4) Числовая прямая с выколотыми точками на -14 и 14 и штриховкой влево от -14 и вправо от 14. Ось обозначена $x$.

Чтобы найти геометрическую модель решения неравенства $x^2 \ge 196$, необходимо сначала решить это неравенство.

Данное неравенство является квадратичным. Можно решить его несколькими способами.

Способ 1: Использование модуля

Неравенство $x^2 \ge 196$ равносильно неравенству $\sqrt{x^2} \ge \sqrt{196}$.

Поскольку $\sqrt{x^2} = |x|$ и $\sqrt{196} = 14$, мы получаем неравенство с модулем: $|x| \ge 14$.

Неравенство вида $|x| \ge a$ (где $a \ge 0$) эквивалентно совокупности двух неравенств: $x \ge a$ или $x \le -a$.

Применяя это правило к нашему случаю, получаем:

$x \ge 14$ или $x \le -14$.

В виде объединения числовых промежутков решение записывается так: $x \in (-\infty; -14] \cup [14; +\infty)$.

Способ 2: Метод интервалов

Перенесем все в левую часть: $x^2 - 196 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-14)(x+14) \ge 0$.

Найдем нули функции $f(x)=(x-14)(x+14)$, решив уравнение $(x-14)(x+14) = 0$. Корни: $x_1 = 14$, $x_2 = -14$.

Отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Они разделят ось на три интервала. Определим знаки выражения $(x-14)(x+14)$ на каждом интервале.

- При $x \in (-\infty; -14)$: знак (+). - При $x \in (-14; 14)$: знак (-). - При $x \in (14; +\infty)$: знак (+).

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком "+". Это $(-\infty; -14]$ и $[14; +\infty)$.

Анализ геометрических моделей

Решение $x \le -14$ или $x \ge 14$ на числовой оси представляет собой два луча. Один идет влево от точки $-14$, а другой — вправо от точки $14$. Так как неравенство нестрогое, точки $-14$ и $14$ должны быть включены в решение и изображены закрашенными кружками.

Теперь сравним это с предложенными вариантами:

1) Показан промежуток $[14; +\infty)$. Это лишь часть верного решения.

2) Показано объединение промежутков $(-\infty; -14]$ и $[14; +\infty)$. Точки $-14$ и $14$ закрашены. Этот вариант полностью соответствует найденному решению.

3) Показан промежуток $[-14; 14]$, что является решением для $x^2 \le 196$.

4) Показано объединение промежутков $(-\infty; -14)$ и $(14; +\infty)$ с выколотыми (незакрашенными) точками, что является решением для строгого неравенства $x^2 > 196$.

Следовательно, правильная геометрическая модель представлена на рисунке 2.

Ответ: 2