Номер 264, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

264 Решите неравенство $x(x + 7)(3 - 6x) \ge 0$.

1) $-7 \le x \le 0$ и $x \ge 0,5$;

2) $x \le -7$ и $0 \le x \le 0,5$;

3) $x \le -7$ и $0 \le x \le 2$;

4) $-7 \le x \le 0,5$.

Для решения неравенства $x(x+7)(3-6x) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов.

Нахождение корней
Сначала приравняем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение может поменять знак. Это корни соответствующего уравнения:
$x(x+7)(3-6x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три корня:

• $x_1 = 0$
• $x+7 = 0 \implies x_2 = -7$
• $3-6x = 0 \implies 6x = 3 \implies x_3 = \frac{3}{6} = 0.5$

Анализ знаков на числовой оси
Отметим полученные корни ($-7$, $0$ и $0.5$) на числовой прямой. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), все точки будут закрашенными, то есть включенными в решение.
Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -7]$, $[-7, 0]$, $[0, 0.5]$ и $[0.5, +\infty)$.
Теперь определим знак выражения $f(x) = x(x+7)(3-6x)$ в каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(0.5, +\infty)$, например, $x=1$:
$f(1) = 1 \cdot (1+7) \cdot (3 - 6 \cdot 1) = 1 \cdot 8 \cdot (-3) = -24$.
Так как результат отрицательный, на интервале $(0.5, +\infty)$ ставим знак "–".
Все корни уравнения имеют нечетную кратность (каждый корень встречается один раз), поэтому при переходе через каждый корень знак будет меняться на противоположный. Двигаясь справа налево, расставим знаки:

• Интервал $(0.5, +\infty)$: знак "–"
• Интервал $[0, 0.5]$: знак "+"
• Интервал $[-7, 0]$: знак "–"
• Интервал $(-\infty, -7]$: знак "+"

Формирование ответа
В исходном неравенстве требуется найти, где выражение $x(x+7)(3-6x)$ больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует интервалам со знаком "+", включая их концы.
Такими интервалами являются $(-\infty, -7]$ и $[0, 0.5]$.
Объединение этих промежутков можно записать в виде: $x \le -7$ и $0 \le x \le 0.5$.
Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $x \le -7$ и $0 \le x \le 0,5$.