Номер 271, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

271 Найдите множество решений неравенства $x^2(2x + 3) > 0$.

1) $(-1{,}5; 0)$;

2) $(-\infty; -1{,}5) \cup (0; +\infty)$;

3) $(-1{,}5; +\infty)$;

4) $(-1{,}5; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для решения неравенства $x^2(2x + 3) > 0$ необходимо найти все значения $x$, при которых произведение двух множителей, $x^2$ и $(2x + 3)$, является положительным числом.

Проанализируем каждый множитель отдельно.

Множитель $x^2$ является квадратом переменной. Он всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Поскольку неравенство у нас строгое ($> 0$), то левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x^2 \neq 0$, и следовательно, $x \neq 0$.

При условии, что $x \neq 0$, множитель $x^2$ всегда будет строго больше нуля ($x^2 > 0$).

Чтобы произведение $x^2(2x + 3)$ было положительным, при условии что $x^2 > 0$, второй множитель $(2x + 3)$ также должен быть строго больше нуля.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе из двух условий: $$ \begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $2x + 3 > 0$ $2x > -3$ $x > -1.5$

Теперь необходимо учесть второе условие: $x \neq 0$.

Мы ищем все числа, которые больше $-1.5$, но не равны нулю. Это множество можно представить в виде объединения двух интервалов: от $-1.5$ до $0$ (не включая концы) и от $0$ до $+\infty$ (не включая $0$).

В интервальной нотации это записывается как: $x \in (-1.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $(-1.5; 0) \cup (0; +\infty)$.