Номер 265, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

265 Найдите множество решений неравенства $(3x - 1)(x + 4)(x - 6) \ge 0$.

1) $[-4; \frac{1}{3}] \cup [6; +\infty)$

2) $[-4; 3] \cup [6; +\infty)$

3) $[-6; -4) \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$

4) $(-\infty; -4) \cup (\frac{1}{3}; 6)$

Для решения неравенства $(3x - 1)(x + 4)(x - 6) \ge 0$ воспользуемся методом интервалов. Для этого сначала найдем корни уравнения, приравняв левую часть к нулю.

$(3x - 1)(x + 4)(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. $3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$

2. $x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$

3. $x - 6 = 0 \implies x_3 = 6$

Теперь отметим найденные корни на числовой оси в порядке их возрастания: $-4$, $\frac{1}{3}$, $6$. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак $\ge$), все три точки включаются в множество решений, и на оси они отмечаются закрашенными (сплошными) точками. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; \frac{1}{3}]$, $[\frac{1}{3}; 6]$ и $[6; +\infty)$.

Определим знак выражения $f(x) = (3x - 1)(x + 4)(x - 6)$ на каждом из интервалов, выбрав по одной пробной точке:

• Интервал $(6; +\infty)$. Возьмем $x = 10$.
  $f(10) = (3 \cdot 10 - 1)(10 + 4)(10 - 6) = (29)(14)(4)$. Все множители положительны, значит произведение положительно. Ставим знак «+».
• Интервал $(\frac{1}{3}; 6)$. Возьмем $x = 1$.
  $f(1) = (3 \cdot 1 - 1)(1 + 4)(1 - 6) = (2)(5)(-5)$. Произведение отрицательно. Ставим знак «−».
• Интервал $(-4; \frac{1}{3})$. Возьмем $x = 0$.
  $f(0) = (3 \cdot 0 - 1)(0 + 4)(0 - 6) = (-1)(4)(-6)$. Произведение положительно. Ставим знак «+».
• Интервал $(-\infty; -4)$. Возьмем $x = -5$.
  $f(-5) = (3 \cdot (-5) - 1)(-5 + 4)(-5 - 6) = (-16)(-1)(-11)$. Произведение отрицательно. Ставим знак «−».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение $(3x - 1)(x + 4)(x - 6)$ больше или равно нулю. Это соответствует интервалам, где мы поставили знак «+», включая граничные точки.

Таким образом, решением является объединение промежутков $[-4; \frac{1}{3}]$ и $[6; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 1).

Ответ: $1) \ [-4; \frac{1}{3}] \cup [6; +\infty)$