Номер 269, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

269 Найдите множество решений неравенства $ \frac{x^2 - 7x + 12}{3x + 15} > 0 $.

1) $ [-5; 3] \cup [4; +\infty); $

2) $ (-5; 3) \cup (4; +\infty); $

3) $ (-\infty; -5) \cup (3; 4); $

4) $ (-\infty; -5) \cup (4; +\infty). $

Для решения данного дробно-рационального неравенства $\frac{x^2 - 7x + 12}{3x + 15} > 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$3x + 15 \neq 0$
$3x \neq -15$
$x \neq -5$

2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Приравняем числитель к нулю, чтобы найти его корни:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2} = 4$
$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2} = 3$
Теперь приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти его корень:
$3x + 15 = 0$
$x = -5$

3. Применим метод интервалов.
Отметим найденные точки на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>$), все точки будут "выколотыми" (не будут входить в решение).
Точки, которые делят прямую на интервалы: -5, 3, 4.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{(x-3)(x-4)}{3(x+5)}$ на каждом из полученных интервалов.

 - + - +---o--------o--------o--------> -5 3 4 x 

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$
• При $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $\frac{(+)(-)}{(+)} = -$
• При $-5 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(+)} = +$
• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-)(-)}{(-)} = -$

4. Выбор решения.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак "+".
Это интервалы $(-5; 3)$ и $(4; +\infty)$.
Объединяя эти интервалы, получаем множество решений: $x \in (-5; 3) \cup (4; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом 2.

Ответ: 2) $(-5; 3) \cup (4; +\infty)$