Номер 276, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

276 a) При каких значениях переменной выражение $ \sqrt{x^2 + 6x} $ имеет смысл?

б) При каких значениях переменной выражение $ \sqrt{\frac{2}{x^2 - 36}} $ имеет смысл?

а) Выражение $\sqrt{x^2 + 6x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Для нахождения значений переменной $x$ необходимо решить неравенство:

$x^2 + 6x \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 6) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.

Графиком функции $y = x^2 + 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола принимает неотрицательные значения на промежутках, где она расположена выше или на оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня (включая его) и правее большего корня (включая его).

Таким образом, решение неравенства имеет вид: $x \le -6$ или $x \ge 0$.

В виде промежутка это записывается как $x \in (-\infty; -6] \cup [0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [0; +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{\frac{2}{x^2 - 36}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия одновременно:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{2}{x^2 - 36} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби, находящейся под корнем, не должен быть равен нулю: $x^2 - 36 \ne 0$.

Рассмотрим первое условие. В дроби $\frac{2}{x^2 - 36}$ числитель равен 2, то есть является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, ее знаменатель также должен быть строго положительным.

$x^2 - 36 > 0$

Это строгое неравенство автоматически обеспечивает выполнение и второго условия (знаменатель не равен нулю). Решим полученное неравенство:

$x^2 > 36$

Это неравенство выполняется, когда $|x| > 6$, то есть когда $x > 6$ или $x < -6$.

В виде промежутка это записывается как $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.