Номер 280, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

280 Решите систему неравенств

$$\begin{cases} 16x - 96 \le 0, \\ 10 - 5x \le 0. \end{cases}$$

1) $2 \le x \le 6;$

2) $x \le 6;$

3) $x \ge 2;$

4) $x \le 2.$

Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Исходная система:

$$ \begin{cases} 16x - 96 \le 0, \\ 10 - 5x \le 0. \end{cases} $$

Решение первого неравенства

Решим первое неравенство $16x - 96 \le 0$.

Перенесем свободный член $-96$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$16x \le 96$

Разделим обе части неравенства на положительное число $16$. Знак неравенства при этом не меняется:

$x \le \frac{96}{16}$

$x \le 6$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 6]$.

Решение второго неравенства

Решим второе неравенство $10 - 5x \le 0$.

Перенесем $10$ в правую часть с противоположным знаком:

$-5x \le -10$

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $-5$. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с $\le$ на $\ge$):

$x \ge \frac{-10}{-5}$

$x \ge 2$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $[2; +\infty)$.

Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение полученных множеств решений: $x \le 6$ и $x \ge 2$.

Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше или равен $2$ и меньше или равен $6$.

Запишем это в виде двойного неравенства:

$2 \le x \le 6$

Данное решение соответствует числовому промежутку $[2; 6]$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $2 \le x \le 6$.