Номер 285, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

285 a) Решите систему неравенств

$ \begin{cases} 1 \le 5x - 4 \le 26, \\ x + 21 > 7x + 3. \end{cases} $

б) Решите систему неравенств

$ \begin{cases} -4 < 7x + 3 < 31, \\ x - 13 \le 2x - 13. \end{cases} $

а)

Для решения системы неравенств$\begin{cases}1 \le 5x - 4 \le 26 \\x + 21 > 7x + 3\end{cases}$нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство $1 \le 5x - 4 \le 26$.

Это двойное неравенство. Чтобы найти $x$, выполним преобразования со всеми тремя частями неравенства.

Прибавим 4 ко всем частям:

$1 + 4 \le 5x - 4 + 4 \le 26 + 4$

$5 \le 5x \le 30$

Разделим все части на 5 (знак неравенства не меняется, так как 5 > 0):

$\frac{5}{5} \le \frac{5x}{5} \le \frac{30}{5}$

$1 \le x \le 6$

Решение первого неравенства в виде промежутка: $x \in [1; 6]$.

2. Решим второе неравенство $x + 21 > 7x + 3$.

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$21 - 3 > 7x - x$

$18 > 6x$

Разделим обе части на 6:

$3 > x$, что то же самое, что и $x < 3$.

Решение второго неравенства в виде промежутка: $x \in (-\infty; 3)$.

3. Найдем пересечение решений.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \in [1; 6]$ и $x \in (-\infty; 3)$.

Пересечением этих двух промежутков является промежуток от 1 (включительно) до 3 (не включительно).

Ответ: $x \in [1; 3)$.

б)

Для решения системы неравенств$\begin{cases}-4 < 7x + 3 < 31 \\x - 13 \le 2x - 13\end{cases}$также решим каждое неравенство и найдем пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство $-4 < 7x + 3 < 31$.

Вычтем 3 из всех частей двойного неравенства:

$-4 - 3 < 7x + 3 - 3 < 31 - 3$

$-7 < 7x < 28$

Разделим все части на 7:

$\frac{-7}{7} < \frac{7x}{7} < \frac{28}{7}$

$-1 < x < 4$

Решение первого неравенства в виде промежутка: $x \in (-1; 4)$.

2. Решим второе неравенство $x - 13 \le 2x - 13$.

Прибавим 13 к обеим частям неравенства:

$x - 13 + 13 \le 2x - 13 + 13$

$x \le 2x$

Перенесем $x$ в правую часть, вычитая его из обеих частей:

$0 \le 2x - x$

$0 \le x$, что эквивалентно $x \ge 0$.

Решение второго неравенства в виде промежутка: $x \in [0; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in (-1; 4)$ и $x \in [0; +\infty)$.

Пересечением этих двух промежутков является промежуток от 0 (включительно) до 4 (не включительно).

Ответ: $x \in [0; 4)$.