Номер 279, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

279 a) Найдите область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 6x - 7}$.

б) найдите область определения функции $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 6x - 7}$ состоит из всех значений $x$, для которых выражение под знаком квадратного корня является неотрицательным. Запишем и решим соответствующее неравенство:

$x^2 - 6x - 7 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 6x - 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства $x^2 - 6x - 7 \ge 0$ — это объединение промежутков $(-\infty, -1]$ и $[7, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup [7, +\infty)$.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$8 + 2x - x^2 \ge 0$

Для решения неравенства найдем корни квадратного трехчлена $8 + 2x - x^2$, решив уравнение:

$8 + 2x - x^2 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства вычислений:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

Графиком функции $f(x) = 8 + 2x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1 < 0$). Это означает, что квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутке между его корнями, включая сами корни.

Таким образом, область определения функции — это отрезок от $-2$ до $4$.

Ответ: $[-2, 4]$.