Номер 286, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

286 Решите систему неравенств $\begin{cases} x^2 - x - 56 < 0, \\ x + 4 \ge 0. \end{cases}$

1) $-4 \le x < 8;$

2) $-7 < x \le 4$ и $x > 8;$

3) $x < -7$ и $-4 \le x < 8;$

4) $4 \le x < 7.$

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти решения для каждого неравенства в отдельности, а затем определить их общую часть (пересечение).

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 56 < 0$.

Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 56 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{225}}{2} = \frac{1 - 15}{2} = -7$;

$x_2 = \frac{1 + \sqrt{225}}{2} = \frac{1 + 15}{2} = 8$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = x^2 - x - 56$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - x - 56 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства — интервал $(-7; 8)$, то есть $-7 < x < 8$.

Теперь решим второе неравенство: $x + 4 \ge 0$.

Это простое линейное неравенство. Перенесем 4 в правую часть:

$x \ge -4$.

Решением этого неравенства является промежуток $[-4; +\infty)$.

На последнем шаге найдем пересечение полученных решений: $-7 < x < 8$ и $x \ge -4$.

Для наглядности можно представить эти промежутки на числовой оси. Область, удовлетворяющая обоим условиям, начинается с -4 (включительно) и заканчивается 8 (не включительно).

Следовательно, решением системы является полуинтервал $[-4; 8)$, что можно записать в виде двойного неравенства: $-4 \le x < 8$.

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это ответ номер 1.

Ответ: $-4 \le x < 8$.