Номер 287, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

287 Укажите геометрическую модель решения системы неравенств

$ \begin{cases} x - 10 < 0, \\ x^2 - 2x - 63 \ge 0. \end{cases} $

1) Штриховка слева от $ -7 $ (закрашенная точка), между $ 9 $ (закрашенная точка) и $ 10 $ (выколотая точка), а также справа от $ 10 $ (выколотая точка). Ось $ x $.

2) Штриховка между $ 9 $ (закрашенная точка) и $ 10 $ (выколотая точка). Ось $ x $.

3) Штриховка между $ -7 $ (закрашенная точка) и $ 9 $ (закрашенная точка), а также справа от $ 10 $ (выколотая точка). Ось $ x $.

4) Штриховка справа от $ -7 $ (закрашенная точка). Ось $ x $.

Для того чтобы указать верную геометрическую модель, необходимо решить данную систему неравенств. Решение системы — это пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Решим первое неравенство: $x - 10 < 0$

Переносим константу в правую часть неравенства:

$x < 10$

Множество решений этого неравенства — интервал $(-\infty; 10)$. На числовой оси это все точки левее 10, при этом точка 10 является выколотой (не входит в решение).

Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 63 \ge 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{256}}{2} = \frac{2 - 16}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{256}}{2} = \frac{2 + 16}{2} = 9$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 63$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции не меньше нуля ($y \ge 0$) на промежутках, где график находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при $x \le -7$ и при $x \ge 9$.

Таким образом, множество решений второго неравенства — это объединение промежутков $(-\infty; -7] \cup [9; \infty)$. Точки -7 и 9 являются закрашенными (входят в решение).

Найдем решение системы

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств:

$x \in (-\infty; 10) \cap ((-\infty; -7] \cup [9; \infty))$

Для наглядности можно изобразить оба решения на одной числовой прямой. Пересечением (общей частью) этих множеств будут числа, которые одновременно меньше 10 и при этом либо меньше или равны -7, либо больше или равны 9.

Это приводит к объединению двух промежутков:

$(-\infty; -7] \cup [9; 10)$

Данное множество решений соответствует геометрической модели, где заштрихована область от $-\infty$ до -7 включительно (с закрашенной точкой на -7) и область от 9 включительно до 10 не включительно (с закрашенной точкой на 9 и выколотой точкой на 10).

Среди предложенных вариантов такая модель представлена на рисунке 1.

Ответ: 1