Номер 288, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

288 Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$.

1) $[-1; +\infty)$;

2) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$;

3) $(-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$;

4) $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ содержит две операции, накладывающие ограничения: извлечение квадратного корня и деление.

1. Ограничение для квадратного корня.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.
$x + 1 \ge 0$
Перенесем 1 в правую часть неравенства:
$x \ge -1$
Таким образом, допустимые значения $x$ принадлежат промежутку $[-1; +\infty)$.

2. Ограничение для дроби.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Это означает, что значение $x=2$ должно быть исключено из области определения.

Нахождение итоговой области определения.
Для нахождения итоговой области определения необходимо учесть оба ограничения одновременно. Мы должны взять все значения $x$ из промежутка $[-1; +\infty)$ и исключить из него точку $x=2$.
На числовой прямой это выглядит как промежуток от $-1$ (включительно) до $+\infty$, с "выколотой" точкой $2$.
Это множество можно записать в виде объединения двух интервалов: $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$.
Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом под номером 4.

Ответ: 4) $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$.