Номер 289, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

289 Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}-2}$.

1) $[-1; 2)$;

2) $(2; +\infty)$;

3) $(-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$;

4) $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}-2}$ необходимо выполнить следующие условия:

1. Выражение под знаком корня в числителе должно быть неотрицательным.
2. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть неотрицательным.
3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем эти условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим каждое условие по отдельности:

1) $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$

2) $x \ge 0$

3) $\sqrt{x} - 2 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 2$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x \neq 4$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий: $x \ge -1$, $x \ge 0$ и $x \neq 4$.

Пересечением первых двух неравенств ($x \ge -1$ и $x \ge 0$) является промежуток $[0; +\infty)$.

Учитывая третье условие ($x \neq 4$), мы должны исключить точку $4$ из этого промежутка.

Таким образом, область определения функции, записанной в задании, есть объединение промежутков $[0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Данный результат отсутствует среди предложенных вариантов ответа. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее частой опечаткой в таких случаях является отсутствие знака корня над переменной в знаменателе. Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$.

Найдем ее область определения:

1) $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$

2) $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен $-1$, но не равен $2$. В виде интервала это записывается как $[-1; 2) \cup (2; +\infty)$. Этот результат совпадает с вариантом ответа под номером 4.

Ответ: 4)