Номер 284, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

284 a) Решите систему неравенств

$\begin{cases} -2 \le 3x + 1 \le 7 \\ x + 23 > 5x - 1 \end{cases}$

б) Решите систему неравенств

$\begin{cases} -3 < 2x - 7 < 3 \\ 6x - 13 < x + 17 \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} -2 \le 3x + 1 \le 7, \\ x + 23 > 5x - 1. \end{cases} $

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое, двойное неравенство $-2 \le 3x + 1 \le 7$.

Вычтем 1 из всех трех частей неравенства, чтобы выделить слагаемое с $x$ в центре:

$-2 - 1 \le 3x + 1 - 1 \le 7 - 1$

$-3 \le 3x \le 6$

Теперь разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$\frac{-3}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{6}{3}$

$-1 \le x \le 2$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $[-1; 2]$.

2. Решим второе неравенство $x + 23 > 5x - 1$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а постоянные члены — в другой. Перенесем $x$ вправо, а $-1$ влево:

$23 + 1 > 5x - x$

$24 > 4x$

Разделим обе части неравенства на 4:

$6 > x$

Это неравенство эквивалентно $x < 6$. Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 6)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $-1 \le x \le 2$ и $x < 6$.

Пересечением множеств $[-1; 2]$ и $(-\infty; 6)$ является множество $[-1; 2]$.

Ответ: $x \in [-1; 2]$.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} -3 < 2x - 7 < 3, \\ 6x - 13 < x + 17. \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое двойное неравенство $-3 < 2x - 7 < 3$.

Прибавим 7 ко всем трем частям неравенства:

$-3 + 7 < 2x - 7 + 7 < 3 + 7$

$4 < 2x < 10$

Теперь разделим все части на 2:

$\frac{4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{10}{2}$

$2 < x < 5$

Решением первого неравенства является интервал $(2; 5)$.

2. Решим второе неравенство $6x - 13 < x + 17$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$6x - x < 17 + 13$

$5x < 30$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x < 6$

Решением второго неравенства является интервал $(-\infty; 6)$.

3. Найдем пересечение решений.

Нам нужно найти все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $2 < x < 5$ и $x < 6$.

Все числа, которые больше 2 и меньше 5, автоматически меньше 6. Таким образом, пересечением интервалов $(2; 5)$ и $(-\infty; 6)$ является интервал $(2; 5)$.

Ответ: $x \in (2; 5)$.