Номер 278, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

278 а) Найдите область определения функции $y = \sqrt{225 - x^2}$.

б) найдите область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 49}$.

a) Область определения функции — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение, стоящее под знаком квадратного корня, является неотрицательным. Для функции $y = \sqrt{225 - x^2}$ должно выполняться условие:
$225 - x^2 \ge 0$
Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $225 - x^2 = 0$.
$x^2 = 225$
$x_1 = -\sqrt{225} = -15$
$x_2 = \sqrt{225} = 15$
Графиком функции $f(x) = 225 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.
Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, принадлежащие отрезку $[-15; 15]$.
Ответ: $[-15; 15]$.

б) Аналогично предыдущему заданию, область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 49}$ находится из условия неотрицательности подкоренного выражения:
$x^2 - 49 \ge 0$
Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 7)(x + 7) \ge 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$.
$x_1 = -7$, $x_2 = 7$
Графиком функции $f(x) = x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ положительный). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутках вне интервала между корнями. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.
Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -7]$ и $[7; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -7] \cup [7; +\infty)$.